Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 9 anni fa

Ciao a tutti. Qualcuno molto gentile potrebbe spiegarmi bene i passaggi della soluzione di questo esercizio?

Esercizio n. 1 Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema.

SOLUZIONE:

Sia y la generica lunghezza della molla (la coordinata dell’estremità collegata al disco interno rispetto

all’estremità fissa)

A) Equilibrio dei momenti: mgR2 - kyR1 = 0 ; y= mgR2\kR1 = 0.16 m

B) Equazione dei momenti assiali lungo asse perpendicolare al foglio in verso uscente:

mgR2 - kyR1 = db\dt = Iw + d(mvR2)\dt

dove I = 1\2 M (R1^2 + R2^2), v è la velocità lineare della massa m, e w è la velocità angolare dei dischi; v = wR2 ;

se y è la lunghezza generica della molla, dato che y = wR1 , v = y ( R2\R1)

si ottiene quindi mgR2 - kyR1 =( 1\2 (M(R1^2 + R2^2) \ R1) + m ( R2^2\R1)) y e omega = radice quadrata di ( 2kR1^2 \ M( R1^2 + R1^2) + 2mR2^2) = 3.11 rad\s

1 risposta

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  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    Per fare chiarezza è indispensabile un disegno, che io non posso fare.

    Assumendo che la forza esercitata dalla molla sia tangente al disco interno, il corpo rigido costituito dai due dischi solidali vincolati a ruotare intorno al comune asse, è in equilibrio quando la somma dei momenti delle forze esterne, calcolati rispetto all'asse fisso, è nulla. Quindi:

    m g R2 - k Le R1 = 0

    da cui, per la lunghezza Le della molla, all'equilibrio, si ottiene:

    (A) Le = m g R2/kR1 = 0,16 m

    Se a partire dalla posizione di equilibrio, si ruota di θ il sistema dei due dischi, facendo scendere di

    y = R2 θ la massa puntiforme sospesa m e allungando contemporaneamente di R1 θ la lunghezza della molla, le equazioni del moto sono:

    per m

    m g - T = m a

    per i due dischi

    T*R2 - k*R1*(Le + R1 θ) = I α

    essendo

    I = (1/2) M (R1² + R2²) = 0,034 kg.m²

    il momento d'inerzia del corpo rigido, e α l'accelerazione angolare.

    Moltiplica la 1a equazione per R2, e tieni conto di

    a = R2 α

    e somma membro a membro le due equazioni in modo da eliminare la tensione T. Otterrai:

    m g R2 - k*R1*(Le + R1 θ) = (m R2² + I) α

    Infine, tenendo conto della espressione di Le, e della definizione di α, si perviene a :

    d²θ/dt² + [k R1²/(I + m R2²)] θ = 0

    posto

    ω² = [k R1²/(I + m R2²)] = 9,68 sec^-2

    l'equazione è quella del moto armonico con pulsazione

    ω = 3,11 s^-1

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