Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 9 anni fa

quanti sono i triangoli il cui perimetro è 31?

la lunghezza dei lati è un numero intero

3 risposte

Classificazione
  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    dato che un lato di un triangolo deve essere maggiore della differenza degli altri due

    e che un lato deve essere minore della somma degli altri due

    e che la somma dei tre lati deve essere 31

    possiamo scrivere

    a + b + c = 31

    quindi c = 31 - a - b

    c < a + b

    c > | a - b |

    ovvero

    ) 31 - a - b < a + b

    ) 31 - a - b > | a - b |

    risolvendo il sistema per b abbiamo

    (31 - a·2)/2 < b < 31/2

    quindi

    posto a=1 abbiamo che b deve essere compreso tra

    (31 - 1·2)/2 < b < 31/2

    14.5 < b < 15.5

    quindi dovendo essere intero può essere solo 15

    di conseguenza c = 31 - 15 - 1 = 15

    per a=1 c'è unsolo triangolo

    per a=2 .. 13.5 < b < 15.5 :b=14,15

    b = 14 , c = 15

    b = 15, c = 14

    ma [2,14,15] = [2,15,14] quindi per a=2 c'è 1 triangolo

    per a=3 .. 12.5 < b < 15.5 : b=13,14,15

    b = 13 , c = 15

    b = 14 , c = 14

    b = 15 , c = 13

    [3,13,15] = [3,15,13] quindi per a=3 ci sono 2 triangoli diversi

    per a=4 .. 11.5 < b < 15.5 : b=12,13,14,15

    b = 12 , c = 15

    b = 13 , c = 14

    b = 14 , c = 13

    b = 15 , c = 12

    2 triangoli

    ecc..

    quindi per ogni a=n ci sono FLOOR(n/2+1) triangoli

    essendo a=1 il minimo e a=15 il lato massimo

    CONSIDERANDO che da a=9 in su i triangoli si ripetono

    "dovremmo avere"

    8

    ∑ FLOOR(n/2+1) = 24 triangoli

    x = 1

    PS. AGGIUNTA E CONFERMA ##########

    TI confermo che la mia soluzione è corretta

    e ho trovato un americano che è giunto al mio stesso risultato con

    un procedimento analogo.

    http://mathforum.org/library/drmath/view/51547.htm...

    anche col suo sistema e nel caso indicato i triangoli con perimetro 31 sono

    CEILING((31^2 + 6·31 - 7)/48) = 24

  • 9 anni fa

    a,b,c=31-a-b i lati

    a<b+c--->a<b+31-a-b 0<a<= 15 solo interi

    b<a+c---->b<a+31-a-b 0< b <=15

    c<b+a 31-a-b<b+a a+b>=15

    e conti I punti

    (a,b)=(1,15);(2,14);(2,15); e avanti

  • Lucas
    Lv 4
    9 anni fa

    hanno già risposto in 2, anzi 1 e mezzo direi... :p

    ma ci provo ugualmente.

    a + b + c = 31 . . . (1)

    a = 31 - b - c . . . (2)

    dalle regole geometriche dei triangoli . . a + b > c . . si ricava: ≥

    a < b + c . . . (3)

    b < a + c . . . (4)

    c < a + b . . . (5)

    in (3), (4) e (5) sostituisco la (2):

    31 - b - c < b + c --> . . . (6)

    b < 31 - b - c + c --> 2b < 31 --> b ≤ 15 . . . (perchè b è intero). . . (7)

    c < 31 - b - c + b --> idem . . c ≤ 15. . . (8)

    ripetendo il procedimento con . . b = 31 - a - c . . si ottiene:

    a ≤ 15 . . . (9)

    ponendo . . 0 < c ≤ b ≤ a ≤ 15 . . . (10)

    si guadagna il seguente procedimento ma si perde in “generalità”; quale generalità si perde?

    in pratica equivale a disporre in maniera ordinata le grandezze dei lati, scegliendo solo le permutazioni (x,y,z) in cui z ≤ y ≤ x, dove x,y,z sono valori interi positivi.

    1^ generalità che si perde:

    le terne (x,y,z), (y,z,x) e (z,x,y) vengono considerate equivalenti, vengono conteggiate come un unico triangolo, quello che rispetta la condizione (10), non come 3 possibili triangoli; dato che anche nella realtà equivalgono allo stesso triangolo, ai fini del problema è positivo perdere questa generalità perché elimina i “doppioni”.

    2^ generalità persa:

    caso particolare della prima generalità, se . . z = y . . le terne (x,y,y), (y,x,y) e (y,y,x) sono altrettanto equivalenti, dunque è positivo perdere anche questa generalità.

    3^ generalità persa:

    le terne (x,y,z) e (x,z,y) vengono considerate equivalenti, ma nella realtà si tratta di 2 triangoli simmetrici e dunque distinti (non equivalgono allo stesso triangolo); questa generalità va, dunque, ripristinata alla fine del procedimento tramite un opportuno accorgimento (descritto in seguito).

    riprendiamo la (10) e, ricordandoci la (1), fissiamo il valore di . c . e di conseguenza di . a, b . :

    c = 1

    1 ≤ b ≤ a ≤ 15

    1 ≤ 15 ≤ 15 ≤ 15 . . (15,15,1) . . non ci sono altre combinazioni che rispettino la (10);

    c = 2

    2 ≤ 14 ≤ 15 ≤ 15 . . (15,14,2)*

    c = 3

    3 ≤ 13 ≤ 15 ≤ 15 . . (15,13,3)*

    3 ≤ 14 ≤ 14 ≤ 15 . . (14,14,3)

    procedendo in questa maniera si ottengono le terne

    (15,12,4)*

    (14,13,4)*

    (15,11,5)*

    (14,12,5)*

    (13,13,5)

    (15,10,6)*

    (14,11,6)*

    (13,12,6)*

    (15,9,7)*

    (14,10,7)*

    (13,11,7)*

    (12,12,7)*

    (15,8,8)

    (14,9,8)*

    (13,10,8)*

    (12,11,8)*

    stop, perché non può essere . c = 9 . altrimenti non sarebbero rispettate le (1) e (10) simultaneamente.

    si sono totalizzate 20 combinazioni, dunque sono possibili almeno 20 triangoli di perimetro 31 con i lati interi.

    ma ora bisogna recuperare la generalità perduta, cioè occorre aggiungere per ciascuna terna “asteriscata” una ed una sola scambiando di posto le misure di 2 lati a scelta (si chiama “permutazione dispari”)

    esempio: (15,14,2)* --> (14,15,2) oppure (15,2,14) oppure (2,14,15), puoi scegliere di aggiungere quella che vuoi perché sono equivalenti, corrispondono allo stesso triangolo.

    (15,14,2)* --> (14,15,2)

    (15,13,3)* --> (13,15,3)

    (15,12,4)* --> ecc.

    (14,13,4)* --> ecc

    (15,11,5)* --> …

    (14,12,5)* -->

    (15,10,6)* -->

    (14,11,6)* -->

    (13,12,6)* -->

    (15,9,7)* -->

    (14,10,7)* -->

    (13,11,7)* -->

    (12,12,7)* -->

    (14,9,8)* -->

    (13,10,8)* -->

    (12,11,8)* -->

    TUTTE le altre combinazioni che ottieni (per esempio partendo col fissare b=1, b=2, ecc, oppure a…) sono equivalenti alle combinazioni ottenute finora, sarebbero solo terne corrispondenti a triangoli “duplicati”.

    dunque in totale si hanno . . 20 + 16 = 36 . . possibili triangoli che soddisfano il problema.

    AGGIUNTA: se avesse ragione il dottor Rob. (di cui al link) significherebbe che 12 dei triangoli che ho trovato col mio metodo (più empirico che analitico) sono equivalenti ad altri; ma io sfido chiunque ad eliminare dalla lista (mia) i triangoli equivalenti... :D

    credo che dr. Rob consideri come "equivalenti" anche i triangoli simmetrici, ma questi non sono equivalenti avendo gli angoli interni invertiti fra loro (se alfa sta fra i lati a, b, nel triangolo simmetrico alfa sta tra b, c)

    questa problema non è ancora del tuttu chiarito mi sa... e ripeto, togliete i triangoli equivalenti dai mie 36 per arrivare a 24... ;-)

    in matematica basta un caso a confutare una legge e quella legge non è più valida.

    attendo la risposta di steve w. sperando sia capace di delucidarci in merito! :)

    Fonte/i: e tu sei soddisfatto?? ;D
Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.