Ivano B ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 9 anni fa

Qualcuno che lo sa risolvere?

Una giostra è costituita da una piattaforma ruotante di diametro pari a

10 m cui sono appesi, tramite dei cavi lunghi 4m, dei sedili. Quando la

giostra è in rotazione le funi formano un angolo di 60 gradi con la

verticale.

Calcolare:

• la velocità angolare della giostra.

• Il peso massimo che gli utenti possono avere, in queste condizioni,

se il seggiolino pesa 10 Kg e i cavi hanno un carico di rottura di

1500 N

• Il periodo delle oscillazioni di un pendolo lungo 20 cm che

passeggero della giostra lascia libero di oscillare durante il

movimento di questa ultima.

1 risposta

Classificazione
  • 9 anni fa
    Risposta preferita

    Con un po' di fantasia (soprattutto riguardo all'angolo), la situazione è la seguente.

    =================

    . . . r . . . .| . . . r . . . .|. \

    . . . . . . . .| . . . . . . . .|. . \

    . . . . . . . .| . . . . . . . .|. . . \ L

    . . . . . . . .| . . . . . . . .|.60° \

    . . . . . . . .| . . . . . . . . . . . . .O m+mp

    . . . . . . . .|

    . . . . . . . .|<- - r+√3L/2 - - ->

    -----------------------------------------------

    Mettiamoci nel riferimento del sedile, per cui possiamo parlare di forza centrifuga Fc:

    ===

    . .|. \

    . .|. . \

    . .|. . . \ L

    . .|.60° \

    . . . . . . .O ---> Fc

    . . . . . . . |.\

    . . . . . .P |. .\ R

    . . . . . . .v. . .v

    R = risultante tra forza centrifuga Fc e peso P del sedile più del passeggero.

    Se indichiamo con:

    m = massa sedile

    mp = massa passeggero,

    essendo v = ω(r+√3L/2):

    P = (m + mp)g

    Fc = (m + mp) v^2 / (r+√3L/2) = (m + mp) ω^2 (r+√3L/2).

    Dato che la risultante R deve tendere il filo a 60°, lo stesso angolo deve formare R con P e quindi, per una formula dei triangoli rettangoli:

    tg 60° = Fc / P = (m + mp) ω^2 (r+√3L/2) / [(m + mp) g] = ω^2 (r+√3L/2) / g, cioè:

    √3 = ω^2 (r+√3L/2) / g, da cui:

    ω = √[(√3 g) / (r+√3L/2)] = √[(√3 * 9,81) / (5+√3 * 4/2)] rad/s = 1,42 rad/s.

    Ricaviamo ora l'espressione della risultante R:

    R = √(P^2 + Fc^2) = √[(m + mp)^2 g^2 + (m + mp)^2 ω^4 (r+√3L/2)^2] =

    = (m + mp) √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2].

    Se Tm indica il carico di rottura, allora deve essere:

    R <= Tm, cioè:

    (m + mp) √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2] <= Tm, da cui:

    mp <= Tm / √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2] - m, cioè:

    mp <= 1500 / √[9,81^2 + 1,42^4 (5+√3*4/2)^2] kg - 10 kg

    mp <= 76,65 kg - 10 kg = 66,65 kg.

    Infine, per rispondere all'ultimo quesito, mettendoci sempre nel riferimento in moto, esso avverte una accelerazione 'a' costante in modulo che forma 60° con la verticale e avente valore:

    a = R / (m + mp) = √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2].

    Un pendolo, messo liberamente in oscillazione, avrà come asse di oscillazione istantaneo quello che contiene R e si muoverà attorno a questa direzione istantanea con periodo T:

    T = 2 π √(ℓ / a) = 2 π √{ℓ / √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2]} =

    = 2 π √{0,2 / √[9,81^2 + 1,42^4 (5+√3*4/2)^2]} = 0,64 s

    Da notare che lo stesso pendolo in quiete avrebbe periodo di circa 0,9 s..

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