Qualcuno che lo sa risolvere?
Una giostra è costituita da una piattaforma ruotante di diametro pari a
10 m cui sono appesi, tramite dei cavi lunghi 4m, dei sedili. Quando la
giostra è in rotazione le funi formano un angolo di 60 gradi con la
verticale.
Calcolare:
• la velocità angolare della giostra.
• Il peso massimo che gli utenti possono avere, in queste condizioni,
se il seggiolino pesa 10 Kg e i cavi hanno un carico di rottura di
1500 N
• Il periodo delle oscillazioni di un pendolo lungo 20 cm che
passeggero della giostra lascia libero di oscillare durante il
movimento di questa ultima.
1 risposta
- IspiratoLv 79 anni faRisposta preferita
Con un po' di fantasia (soprattutto riguardo all'angolo), la situazione è la seguente.
=================
. . . r . . . .| . . . r . . . .|. \
. . . . . . . .| . . . . . . . .|. . \
. . . . . . . .| . . . . . . . .|. . . \ L
. . . . . . . .| . . . . . . . .|.60° \
. . . . . . . .| . . . . . . . . . . . . .O m+mp
. . . . . . . .|
. . . . . . . .|<- - r+√3L/2 - - ->
-----------------------------------------------
Mettiamoci nel riferimento del sedile, per cui possiamo parlare di forza centrifuga Fc:
===
. .|. \
. .|. . \
. .|. . . \ L
. .|.60° \
. . . . . . .O ---> Fc
. . . . . . . |.\
. . . . . .P |. .\ R
. . . . . . .v. . .v
R = risultante tra forza centrifuga Fc e peso P del sedile più del passeggero.
Se indichiamo con:
m = massa sedile
mp = massa passeggero,
essendo v = ω(r+√3L/2):
P = (m + mp)g
Fc = (m + mp) v^2 / (r+√3L/2) = (m + mp) ω^2 (r+√3L/2).
Dato che la risultante R deve tendere il filo a 60°, lo stesso angolo deve formare R con P e quindi, per una formula dei triangoli rettangoli:
tg 60° = Fc / P = (m + mp) ω^2 (r+√3L/2) / [(m + mp) g] = ω^2 (r+√3L/2) / g, cioè:
√3 = ω^2 (r+√3L/2) / g, da cui:
ω = √[(√3 g) / (r+√3L/2)] = √[(√3 * 9,81) / (5+√3 * 4/2)] rad/s = 1,42 rad/s.
Ricaviamo ora l'espressione della risultante R:
R = √(P^2 + Fc^2) = √[(m + mp)^2 g^2 + (m + mp)^2 ω^4 (r+√3L/2)^2] =
= (m + mp) √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2].
Se Tm indica il carico di rottura, allora deve essere:
R <= Tm, cioè:
(m + mp) √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2] <= Tm, da cui:
mp <= Tm / √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2] - m, cioè:
mp <= 1500 / √[9,81^2 + 1,42^4 (5+√3*4/2)^2] kg - 10 kg
mp <= 76,65 kg - 10 kg = 66,65 kg.
Infine, per rispondere all'ultimo quesito, mettendoci sempre nel riferimento in moto, esso avverte una accelerazione 'a' costante in modulo che forma 60° con la verticale e avente valore:
a = R / (m + mp) = √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2].
Un pendolo, messo liberamente in oscillazione, avrà come asse di oscillazione istantaneo quello che contiene R e si muoverà attorno a questa direzione istantanea con periodo T:
T = 2 π √(ℓ / a) = 2 π √{ℓ / √[g^2 + ω^4 (r+√3L/2)^2]} =
= 2 π √{0,2 / √[9,81^2 + 1,42^4 (5+√3*4/2)^2]} = 0,64 s
Da notare che lo stesso pendolo in quiete avrebbe periodo di circa 0,9 s..