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informazioni aritmetica modulare?

ciao! qualcuno mi spiega in termini molto semplici cos'è l'aritmetica modulare e come funziona magari con qualche es??studio giurisprudenza e ho l esame di informatica giuridica, quindi non mi interessa sapere nel dettaglio, mi bastano i concetti chiave chiari perchè non capisco niente!! grazie :)

1 risposta

Classificazione
  • 7 anni fa
    Risposta preferita

    ....domandina da nulla....... :-|

    L'aritmetica modulare si basa sulle congruenze di modulo n, ossia sul fatto che la differenza tra due interi a, b sia un multiplo di n.

    In simboli si indica che a è congruente a b in modulo n:

    a ≡ b (mod n)

    se (a - b) è un multiplo intero di n.

    La definizione si può riformulare pensando alle divisioni c.d. "euclidee", ossia quelle con quoziente e resto:

    Quando dividi il numero a per n, se a non è un multiplo intero di n ottieni un quoziente e un resto

    a/n = q + r

    ossia :

    a = nq + r

    allo stesso modo operi per b:

    b/n = q₁ + r₁

    b = nq₁ + r₁

    Puoi dire che a e b sono congruenti modulo n se r = r₁, ossia se sono uguali i resti della divisione per n.

    Le due definizioni sono equivalenti. Infatti:

    a - b = kn [questa è la definizione data all'inizio]

    ma per quanto visto dopo hai che:

    a = nq + r

    b = nq₁ + r₁

    e dunque:

    a - b = (nq + r) - (nq₁ + r₁) = n(q - q₁) + (r - r₁)

    Ma abbiamo detto che deve essere r = r₁per cui la tua equazione diventa:

    a - b = n(q - q₁)

    visto che q e q₁sono per definizione interi allora a - b è un multiplo intero di n, c.v.d.

    Facciamo degli esempi:

    6 e 10 sono congruenti modulo 4 in quanto:

    6 - 10 = -4 [che è un multiplo relativo di 4]

    oppure, per la definizione alternativa:

    6 = (4*1) + 2

    10 = (4*2) + 2

    Noti che le due definizioni sono equivalenti:

    a - b = [(4*1) + 2] - [(4*2) + 2] = 4*1 - 4*2 = -4

    35 e 31 sono congruenti modulo 2:

    35 - 31 = 4 = 2*2

    35 = (2*17) + 1

    31 = (2*15) + 1

    35 - 31 = [(2*17) + 1] - [(2*15) + 1] = (2*17) - (2*15) = 4 = 2*2

    Noti che 35 e 31 sono ANCHE congruenti modulo 4

    70 e 35 sono congruenti modulo 5 E ANCHE modulo 7:

    70 - 35 = 35 = 5*7

    70 = 5*14 = 7*10

    35 = 5*7

    70 - 35 = 5*14 - 5*7 = 5*7

    70 - 35 = 7*10 - 7*5 = 7*5

    I numeri congruenti modulo n si dividono dunque in tante classi quanti sono i possibili resti della divisione per n.

    Se a è multiplo di n la divisione avrà resto 0.

    Il massimo resto possibile è ovviamente (n - 1) [se hai resto n allora la divisione è intera e quindi il resto è 0]

    Dunque per ogni intero non nullo n hai n possibili classi di interi congrui.

    Particolarità dell'aritmetica modulare è dunque la periodicità: quando arrivi a n - 1 il resto successivo è 0 e si ricomincia da capo.

    La congruità modulo n è una relazione di equivalenza sull'insieme Z degli interi relativi.

    Infatti essa è:

    riflessiva [a è congruo a se stesso per qualunque modulo n non nullo]

    simmetrica [se a è congruo a b modulo n allora vale il contrario]

    transitiva [se a è congruo a b e b è congruo a c allora a è congruo a c]

    dunque l'insieme Z viene totalmente diviso in classi (ossia qualunque elemento dell'insieme appartiene ad una ed una sola classe di resti che indichiamo con [n] ) le quali possono essere considerate come elementi di un insieme nel quale valgono le principali operazioni matematiche con qualche piccola "sorpresa" [ad esempio il prodotto di elementi non nulli può dare un risultato nullo: tali elementi prendono il nome di "nullifici"].

    L'argomento è vastissimo e non so se sono riuscito a fartelo comprendere meglio.

    Chiedi magari facendo qualche esempio pratico di ciò che potrebbero chiederti all'esame.

    Bye

    J.

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