Problema sui fasci di rette!! Urgente!!?

Ciao a tutti!

Qualcuno potrebbe farmi questo esercizio sui fasci di rette e spiegarne i procedimenti?

Nel fascio di rette di equazione:

Kx+(K-1)y+1=0

determina:

a) Il centro e le generatrici

b) La retta passante per P(2;0)

c) La retta parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

d) La retta perpendicolare alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

e) Le rette che formano con l'asse x un angolo di 30°

Vi prego, è importantissimo e anche urgente!

Grazie in anticipo

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    8 anni fa
    Risposta preferita

    a)

    per trovare le generatrici isoliamo i termini con k, svolgendo i prodotti e mettendo k in evidenza:

    kx+ky-y+1=0

    -y+1+k(x+y)=0

    GENERATRICI:

    -y+1=0 --> y-1=0

    x+y=0

    Per trovare il centro le mettiamo a sistema:

    {y-1=0

    {x+y=0

    {y=1

    {x=-1

    C(-1, 1)

    b)

    Sostituiamo le coordinate di P al posto di x e y nel fascio per trovare k:

    k(2)+(k-1)(0)+1=0

    2k+1=0

    k=-1/2

    Sostituiamo il k trovato nel fascio per ottenere la retta:

    -1/2x-3/2y+1=0

    -x-3y+2=0

    x+3y-2=0

    c)

    Troviamo il coefficiente della bisettrice y=x: m=+1

    Il coefficiente del fascio è:

    m=-a/b=-k/(k-1)

    Poniamo il coefficiente del fascio=1

    -k/(k-1)=1

    -k=k-1

    -2k=-1

    k=1/2

    Retta:

    1/2x-1/2y+1=0

    x-y+2=0

    d)

    Il coefficiente della bisettrice è sempre +1, ma ora ci serve l'antireciproco -1. Uguagliamo il coefficiente del fascio a -1:

    -k/(k-1)=-1

    -k=-k+1

    0=1 impossibile

    Attenzione però, se non otteniamo un valore di k, non vuol dire che la retta non esiste, perchè la retta cercata è proprio la generatrice moltiplicata per k (y+x=0), che non corrisponde, infatti, a nessun valore di k

    e)

    Consideriamo i triangoli rettangoli formati dal centro del fascio C, dalla perpendicolare all'asse x mandata da C e le rette che cerchiamo (una a destra e una a sinistra).

    Il piede della perpendicolare (H) avrà coordinate (-1, 0).

    Visto che nei triangoli con l'angolo di 30° l'ipotenusa è il doppio del cateto minore, e in questo caso CH è il cateto minore, troviamo la lunghezza (chiamo P il terzo vertice):

    CH=|1-0|=1

    CP=2

    Per Pitagora

    PH=V4-1=V3

    Il punto P avrà coordinate (±V3-1, 0) (perchè ci spostiamo di V3 verso sinistra oltre l'1 del punto H).

    Quindi la nostra retta passa per P e C.

    Troviamone il coefficiente. (considero P(V3-1, 0):

    m=(1-0)/(-1-V3+1)=1/-V3=-V3/3

    oppure

    m=(1-0)/(-1+V3+1)=1/V3=V3/3

    Uguagliando il fascio a questo coefficiente otteniamo la retta:

    -k/k-1=±V3/3

    -3k=±V3k -V3

    k(-3±V3)=-V3

    k=-V3/(-3±V3)

    :]

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