TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA?
Qualcuno sa spiegarmi questa dimostrazione su TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA?
3 risposte
- Pino PinoLv 78 anni faRisposta preferita
Teorema di derivazione della funzione inversa.
Sia y = f(x) continua in un intervallo I e in tale intervallo la nostra funzione è continua e iniettiva e ovviamente il suo codomonio (insieme delle immagini) sarà f(I), con queste caratteristiche ammetterà sicuramente funzione inversa ( ovvero ho potuto esplicitare la x in funzione di y ottenendo una funzione ) che suole indicarsi con la notazione fˉ ¹(y). Il fatto che sia iniettiva matematicamente viene espresso nel modo seguente
∀y ∈ f(I)\{yo} , ∃!x ∈ I \{xo} : y = f(xo) o esplicitando fˉ ¹(y) = x
Analizziamo questo enunciato. Affinché sia iniettiva occorre che fissato un valore di y appartenente al codominio f(I) ( privato al più di yo) è possibile associare uno e uno solo ( ∃! = si legge esiste ed è unico) valore di x appartenente al dominio ( privato al più di xo) , in tali circostanza la mia funzione y = f(x) ammette inversa che si scrive fˉ ¹(y) = x che è del tutto equivalente alla mia funzione di partenza solo che mette in evidenza il legame no tra x e y ma tra y e x che hanno invertito il loro ruolo di variabile indipendente e dipendente.
La dimostrazione prosegue scrivendo il rapporto incrementale della funzione fˉ ¹(y) = x relativamente al punto yo ottenendo
rapporto_incr = [ fˉ ¹(y) - fˉ ¹(yo) ]/(y - yo)
ma y = f(x) mentre yo = f(xo) ovvero il valore che assume la funzione nel punto xo
rapporto_incr = [ fˉ ¹(f(x)) - fˉ ¹(f(xo)) ]/[ f(x) - f(xo) ]
ovviamente fˉ ¹(f(x)) = x .
Perché?? Perché comporre la funzione inversa che la sua funzione porta alla cancellazione. Pensa che se ho la funzione f(x) = x³ e la sua inversa è fˉ ¹(x) = ∛x se tu le componi ottieni che fˉ ¹(f(x)) = ∛x³ = x .
Quindi
rapporto_incr = [ fˉ ¹(f(x)) - fˉ ¹(f(xo)) ]/[ f(x) - f(xo) ] = (x - xo)/[ f(x) - f(xo) ] = 1/[ f(x) - f(xo) ]/(x - xo)
in modo che al denominatore abbiamo una frazione che corrisponde al rapporto incrementale della funzione y = f(x) nel punto xo
A questo punto basta passare al limite. Ovviamente per quanto scritto sopra se ad fˉ ¹(yo) = xo posso associare yo = f(xo) se faccio il limite per y → yo ad esso corrisponde x → xo per cui
Lim . . . [ fˉ ¹(y) - fˉ ¹(yo) ]/(y - yo) =
y → yo
Lim . . .1/[ f(x) - f(xo) ]/(x - xo) = 1/f'(xo)
x → xo
poiché per definizione [ f(x) - f(xo) ]/(x - xo) → f'(xo) se x → xo
c.v.d.
