Newton ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA?

Qualcuno sa spiegarmi questa dimostrazione su TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLA FUNZIONE INVERSA?

http://img534.imageshack.us/img534/2498/001fnd.jpg

3 risposte

Classificazione
  • 8 anni fa
    Risposta preferita

    Teorema di derivazione della funzione inversa.

    Sia y = f(x) continua in un intervallo I e in tale intervallo la nostra funzione è continua e iniettiva e ovviamente il suo codomonio (insieme delle immagini) sarà f(I), con queste caratteristiche ammetterà sicuramente funzione inversa ( ovvero ho potuto esplicitare la x in funzione di y ottenendo una funzione ) che suole indicarsi con la notazione fˉ ¹(y). Il fatto che sia iniettiva matematicamente viene espresso nel modo seguente

    ∀y ∈ f(I)\{yo} , ∃!x ∈ I \{xo} : y = f(xo) o esplicitando fˉ ¹(y) = x

    Analizziamo questo enunciato. Affinché sia iniettiva occorre che fissato un valore di y appartenente al codominio f(I) ( privato al più di yo) è possibile associare uno e uno solo ( ∃! = si legge esiste ed è unico) valore di x appartenente al dominio ( privato al più di xo) , in tali circostanza la mia funzione y = f(x) ammette inversa che si scrive fˉ ¹(y) = x che è del tutto equivalente alla mia funzione di partenza solo che mette in evidenza il legame no tra x e y ma tra y e x che hanno invertito il loro ruolo di variabile indipendente e dipendente.

    La dimostrazione prosegue scrivendo il rapporto incrementale della funzione fˉ ¹(y) = x relativamente al punto yo ottenendo

    rapporto_incr = [ fˉ ¹(y) - fˉ ¹(yo) ]/(y - yo)

    ma y = f(x) mentre yo = f(xo) ovvero il valore che assume la funzione nel punto xo

    rapporto_incr = [ fˉ ¹(f(x)) - fˉ ¹(f(xo)) ]/[ f(x) - f(xo) ]

    ovviamente fˉ ¹(f(x)) = x .

    Perché?? Perché comporre la funzione inversa che la sua funzione porta alla cancellazione. Pensa che se ho la funzione f(x) = x³ e la sua inversa è fˉ ¹(x) = ∛x se tu le componi ottieni che fˉ ¹(f(x)) = ∛x³ = x .

    Quindi

    rapporto_incr = [ fˉ ¹(f(x)) - fˉ ¹(f(xo)) ]/[ f(x) - f(xo) ] = (x - xo)/[ f(x) - f(xo) ] = 1/[ f(x) - f(xo) ]/(x - xo)

    in modo che al denominatore abbiamo una frazione che corrisponde al rapporto incrementale della funzione y = f(x) nel punto xo

    A questo punto basta passare al limite. Ovviamente per quanto scritto sopra se ad fˉ ¹(yo) = xo posso associare yo = f(xo) se faccio il limite per y → yo ad esso corrisponde x → xo per cui

    Lim . . . [ fˉ ¹(y) - fˉ ¹(yo) ]/(y - yo) =

    y → yo

    Lim . . .1/[ f(x) - f(xo) ]/(x - xo) = 1/f'(xo)

    x → xo

    poiché per definizione [ f(x) - f(xo) ]/(x - xo) → f'(xo) se x → xo

    c.v.d.

  • 8 anni fa

    non so

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.