Elisa ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 7 anni fa

piano normale alla curva?

data la curva r(t) = 2cos(t)I + e^tJ - 3tK come si calcola il piano ad essa normale nel punto (2,1,0)?

1 risposta

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  • 7 anni fa
    Migliore risposta

    La curva nello spazio che hai indicato è una curva parametrica nel parametro "t".

    Al variare di "t" ottieni un corrispondente punto sulla curva.

    Dovresti inoltre già sapere che un piano ha gli stessi parametri direttori della retta ad esso ortogonale; in tal caso infatti la retta tangente e la curva parametrica hanno, per definizione, gli stessi parametri direttori, che quindi sono anche quelli del piano normale alla curva stessa.

    Quindi il piano da te cercato ha i parametri direttori della retta tangente alla curva nel punto P(2,1,0).

    Ora ti devi chiedere: per quale valore di "t" ottengo (nello spazio I,J,K) queste coordinate?

    I=2

    J=1

    K=0

    La risposta, ovvia, è: t=0

    Infatti:

    2cos(0)=2

    e^0=1

    3*0=0

    Ora che sai che t=0, puoi calcolare i parametri direttori.

    Essi coincidono con le derivate prime delle equazioni parametriche in funzione di "t".

    Quindi derivando ottengo:

    der. 2cos(t) ---> -2sin(t)

    der. e^t ---> e^t

    der. 3t ---> 3

    Ora puoi calcolare i parametri direttori della retta tangente nel punto P mediante il calcolo del valore che le derivate prime assumono per t=0:

    I) -2sin(0)=0

    J) e^0=1

    K) 3 (è una costante)

    Quindi i parametri direttori della retta, e quindi ANCHE del piano cercato, sono: 0,1,3.

    L'espressione generale di un piano nello spazio è: aI + bJ + cK + d = 0

    Sostituendo i valori dei parametri direttori appena trovati ottieni:

    0I + 1J + 3k + d = 0

    Imponendo il passaggio del piano per il punto P(2,1,0) ottieni:

    0*2 + 1*1 + 3*0 + d = 0

    da cui ricavi: 1 + d = 0

    che ti dà alla fine: d=-1

    Perciò il tuo piano è:

    1J + 3K - 1 = 0

    Ciao!

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