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Elisa ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

distanza minima punto-curva?

come si calcola la distanza dal punto P = (0,1) dalla curva di equazione √y=x?

Grazie!!

1 risposta

Classificazione
  • 8 anni fa
    Risposta preferita

    1. La curva √y=x è equivalente alla

    {y=x²

    {x≥0

    2. Un generico punto Q(x₀,y₀) appartenente alla curva avrà coordinate Q(x₀,x₀²) quindi la distanza tra i due punti sarà

    dpq=√[(0-x₀)²+(1-x₀²)²]=√(x₀²+1+x₀⁴-2x₀²)=

    =√(x₀⁴-x₀²+1).

    Vogliamo determinare il minimo di tale funzione, possiamo trascurare la radice poiché la distanza sarà minima quando il radicando sarà minimo quindi consideriamo

    d*=x₀⁴-x₀²+1 deriviamola

    d*'=4x₀³-2x₀=2x₀(2x₀²-1)

    Verifichiamo dove si annulla, per la legge dell'annullamento del prodotto

    d*'(x₀)=0 --> x₀=0 V x₀=-√2/2 V x₀=√2/2. con x₀=-√2/2 da scartare poiché siamo interessati a valori

    {x≥0.

    Calcoliamo le due distanze

    2.1 x₀=0 --> dpq=1 (giacciono entrambi sull'asse y)

    2.2 x₀=√2/2 --> dpq=√(x₀⁴-x₀²+1)=√(1/4-1/2+1)=

    =√(3/4)=√3/2 <1.

    Quindi la distana del punto P dalla curva è il minimo dei due valori e quindi dpq=√3/2

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