Aiuto sullo sviluppo di Taylor-Mc Laurin?

Ragazzi, ho un problema con lo sviluppo di Taylor mclaurin della funzione f(x) = ln(1+2x^4).

L'esercizio mi chiede di fare tutti i passaggi partendo dalla formula di taylor con X = 0 e non usando i polinomi notevoli. Il problema sta nel fatto che se uso i polinomi notevoli allora mi riesce; se uso la formula di taylor come chiede l'esercizio mi si annulla tutto!!! Come mai mi viene sempre zero??? Dove sbaglio??

Ecco il mio procedimento:

Al posto di x0 uso X maiuscola per distinguerla da x

f^0(X) = ln(1+X^4)

f^1(X) = (8X^3)/(2X^4+1)

f^2(X) = (8X^2(3-2X^4))/((2X^4+1)^2)

f^3(X) = (16X(4X^8-24X^4+3))/((2X^4+1)^3)

f^4(X) = (48(8X^12-124X^8+62X^4-1))/((2X^4+1)^4)

Queste sono le derivate che ho calcolato, ma se vado a sostituire lo 0 alla X vengono tutte zero e ciò è impossibile!!

Comunque se avessi trovato i risultati corretti, dato che (x-X)=(x-0)=x, avrei continuato moltiplicando ogni risultato della derivata per x elevato al grado della derivata e diviso il risultato per il fattoriale del numero corrispondente al grado della derivata. Quindi:

(f^0(X)*x^0)/0! + (f^1(X)*x^1)/1! + (f^2(X)*x^2)/2! + f^3(X)*x^3)/3! + f^4(X)*x^4)/4!

ed infine aggiungo il resto.

Comunque a me non riesce perchè si annulla tutto. Dove sbaglio?? Grazie in anticipo!!!!

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    8 anni fa
    Risposta preferita

    Scusa, ma f^4(0) ≠ 0; infatti f^4(0) = 48 (manca un segno, è f^4(X) = -(48(...

    f(x) = 2x^4 + o(x^4).

    L'annullamento di molte derivata è dovuto al fatto che per t → 0

    ln(1 + t) = t + o(t)

    per cui

    ln(1 + kx^n) = kx^n + o(x^n)

    e sono nulle tutte le derivate in x = 0 fino all'ordine (n-1)-esimo.

    ciao

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.