Kiba
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Kiba ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 anni fa

Geometria: Come verifico che la curva è piana?

Data la curva:

L: x=t^2-4t+4

y=t^2+4t-2

z=t

Devo verificare che sia piana e trovare il piano che la contiene.

So che una curva è piana quando x(t),y(t),z(t),1 sono linearmente dipendenti, ma come lo verifico? e perchè devo aggiungere l'1?

Grazie :-/

1 risposta

Classificazione
  • 8 anni fa
    Risposta preferita

    metodo 1

    hai la curva [t^2 - 4·t + 4, t^2 + 4·t - 2, t]

    per essere piana deve risiedere sempre su un piano (che bella scoperta eh?)

    quindi controlliamo se le parametriche soddisfano un piano generico

    [t^2 - 4·t + 4, t^2 + 4·t - 2, t , 1] * [a, b, c, d] =

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ^^^^^

    (devi aggiungere 1 per poter considerare nel piano il termine noto d)

    a·(t^2 - 4·t + 4) + b·(t^2 + 4·t - 2) + c·t + d = 0

    raccogliamo le t

    t^2·(a + b) - t·(4·a - 4·b - c) + 4·a - 2·b + d = 0

    per il principio di identità dei polinomi mettiamo a sistema le uguaglianze dei coefficienti dei termini di pari grado

    a + b = 0

    4·a - 4·b - c = 0

    4·a - 2·b + d = 0

    potremmo studiare il rango con Rouche Capelli ma il sistema è banale

    e si può risolvere in 1 minuto per sostituzione

    a = - d/6

    b = d/6

    c = - 4·d/3

    valori che sostituiti nel piamo ci danno 0 = 0

    ovvero ci dicono che le parametriche stanno -sempre- su questo piano

    e chi quindi la curva originaria è piana.

    di conseguenza il piano che contiene la curva sarà

    - d·x/6 + d·y/6 - 4·d·z/3 + d = 0

    che moltiplicando tutto per 6/d diventa

    -x + y - 8·z + 6 = 0

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

    metodo 2 (molto più semplice se si vuole dimostrare solo che la curva è piana)

    la geometria differenziale ci dice che :

    "se il vettore binormale alla curva è costante la curva è piana"

    ringraziamo la geometrica differenziale e ci chiediamo

    "ma come accidenti come si calcola il vettore binormale?"

    Ma è semplice perbacco.. è il prodotto vettoriale tra il vettore normale e il vettore tangente.

    il vettore tangente è la derivata del vettore con le parametriche,e il vettore normale è la derivata seconda dello stesso

    quindi

    curva

    y = [t^2 - 4·t + 4, t^2 + 4·t - 2, t]

    vettore tangente

    y ' = [2·t - 4, 2·t + 4, 1]

    vettore normale

    y ' ' = [2, 2, 0]

    il vettore binormale è

    [2·t - 4, 2·t + 4, 1] ⨯ [2, 2, 0] = [-2, 2, -16]

    è costante.. quindi la curva è piana.

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