Unione e intersezione di sottospazi vettoriali?

Salve, dati 2 sottospazi come si calcola la loro unione e la loro intersezione?

Ad esempio A=<((0,0,1)(1,1,2)(2,2,5))> e B=<((1,3,1)(1.6,2)(1,7,1))>

In particolare poi come si rappresentano la rispettiva unione e intersezione?

1 risposta

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  • 7 anni fa
    Risposta preferita

    Considerando quei sottospazi bastano poche, semplici osservazioni.

    Iniziamo notando che A e B sono sottospazi di R^3 e calcoliamo intanto la loro dimensione:

    si trova facilmente che dimA=2 e dimB=3. Quindi B ha dimensione 3 in uno spazio (R^3) anch'esso di dimensione 3, dunque B conincide con R^3.

    In conclusione A U B è R^3, infatti posso ovviamente scrivere A come combinazione lineare dei vettori di B;

    e A ∩ B è semplicemente A infatti: se A⊆B, allora A∩B=B

    In un caso generale con due sottospazi X,Y∈R^n, devi calcolarti una base di X e una base di Y,

    poi per l'unione X U Y consideri l'unione delle due basi di X e Y e estrai una base da quella lista di vettori.

    per l'intersezione: ricavi le equazioni cartesiane di X e quelle di Y, l'intersezione A ∩ B sarà data dai vettori che soddisfano il sistema che ha per equazioni quelle di X unite a quelle di Y.

    Spero di essere stato abbastanza chiaro, ciao!

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