Quanti polinomi di grado n passano per n+1 punti assegnati?

Question

Per i punti (xi, yi), con xi diverso da xj per i diverso da j

Answer 1

Risposta preferita

Uno solo, di grado minore o uguale a n.

Un polinomio in una varabile x di grado n ha la forma

p(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0

con a_n ≠ 0, quindi è determinato dai sui n+1 coefficienti.

Imponendo il passaggio per n+1 punti distinti abbiamo un sistema lineare non omogeneo con n+1 equazioni ed n+1 incognite (gli n+1 coefficienti):

{ p(x_1) = y_1

{ p(x_2) = y_2

{ ...

{ p(x_n+1) = y_n+1

cioè

{ (x_1)^n*a_n + ... + (x_1)*a_1 + a_0 = y_1

{ (x_2)^n*a_n + ... + (x_2)*a_1 + a_0 = y_2

{ ...

{ (x_n+1)^n*a_n + ... + (x_n+1)*a_1 + a_0 = y_n+1

Questo sistema ammette una e una sola soluzione (a_n, ..., a_1, a_0) in quanto l'ipotesi x_i ≠ x_j per ogni i ≠ j implica che il determinante dei coefficienti è diverso da 0.

http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminan...

Nota che l'unica soluzione potrebbe corrispondere a un polinomio di grado minore di n (nel caso in cui a_n = 0); p.es., se n = 2 e y_1 = y_2, otterrai un polinomio costante p(x) = y1, di grado 0.

ciao