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È dato il triangolo isoscele ABC; prolunga oltre vertice A i due lati congruenti BA e CA di due segmenti congruenti AE=AD maggiori di AB.A Unisci B con D e C con E e sia O il punto dove si incontrano le rette BD e CE. Dimostra che BD=CE, OD=OE e che il punto O è sulla bisettrice dell'angolo in A.

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    1) I triangoli ABD e ACE sono congruenti per il primo criterio perché

    - AB = AC per ipotesi

    - AD = AE per costruzione

    - BA^D = CA^E perché opposti al vertice

    Di qui segue in particolare BD = CE

    2) Da quanto dimostrato al punto precedente segue che gli angoli BD^A e CE^A sono congruenti.

    Dato che il triangolo ADE è isoscele perché AD = AE per costruzione, si ha inoltre AD^E = AE^D, e quindi BD^E = CE^D in quanto somme di angoli congruenti.

    Dunque il triangolo DEO, avendo gli angolo alla base DE congruenti, è isoscele e pertanto OD = OE.

    3) Conduciamo per O e per A le altezze relative al lato DE. Poiché ambedue i triangoli DEO e DEA sono isosceli le loro altezze coincidono con l'asse della base DE e quindi giacciono sulla stessa retta. Ma in un triangolo isoscele le bisettrici coincidono con le altezze, e quindi la bisettrice dell'angolo A passa per il punto O.

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