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Aiuto matematica!!! 10punti?

Le distrazioni sono sempre dietro l’angolo e, visto il teatrino dei burattini, Pinocchio non sa resistere: vende l’Abbecedario, acquista il biglietto ed eccolo tra le marionette di Mangiafuoco. I burattini sono numerati con i numeri da 1 a 20 e, per fare lo spettacolo, Mangiafuoco ne sceglie a caso 4. Indicando con p la probabilità che tra le 4 marionette scelte ve ne siano almeno due con i numeri consecutivi, determina la somma tra numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. Grazie in anticipo!!

1 risposta

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  • 7 anni fa
    Risposta preferita

    Io ci provo.

    Dopo scelto il primo, ovviamente, ancora non possono essercene due consecutivi.

    Poi ne sceglie uno tra i restanti 19. Ci sono 2 probabilità su 19 che questo sia consecutivo col primo scelto (dovrebbe essere il numero subito prima o subito dopo); a meno che il primo scelto non fosse il #1 o il #20, in quel caso ci sarebbe una sola possibilità su 19. Quindi, in 2 casi su 20 le possibilità sono 1/19, negli altri 18 sono 2/19. Quindi:

    2/20*1/19 + 18/20*2/19 = 1/10

    Quindi c'è 1 possibilità su 10 che dopo il secondo scelto ci siano due consecutivi.

    Per le altre 9 su 10, proseguiamo con il terzo scelto. Qui abbiamo tre casi: se i primi due scelti erano il #1 eil #20, ci sono 2 sole possibilità su 18 che venga estratto uno consecutivo a uno dei due (una per ciascuno dei due); se uno dei due era #1 o #20, e l'altro era un numero diverso, allora per uno dei due c'è 1 possibilità su 18 e per l'altro 2 su 18 (3 su 18 in totale); se infine nessuno dei due era #1 o #20, allora ci sono 2 possibilità su 18 per ciascuno (4 su 18 in totale).

    Le probabilità che siano il #1 e il #20 sono: 2/20 (alla prima scelta dovrebbe uscire uno di quei due su 20 totali) * 1/19 (alla seconda, dopo che uno dei due è uscito, dovrebbe uscire l'altro su 19 totali) = 1/190.

    Le probabilità che nessuno dei due sia né il #1 né il #20 sono: 18/20 (alla prima scelta dovrebbe uscire uno dei 18 che non sono #1 né #20) * 17/19 (alla seconda, dopo che uno dei 18 è uscito, dovrebbe uscirne un altro su 19 totali) = 153/190.

    E quindi le probabilità che uno sia #1 o #20 e l'altro no, sono le restanti 1 - (1/190 + 153/190) = 36/190.

    Quindi, se i primi due erano #1 e #20: 1/190 * 2/18 = 1/1710

    Se dei primi due uno era #1 o #20 e l'altro no: 36/190 * 3/18 = 3/95

    Se dei primi due nessuno era #1 né #20: 153/190 * 4/18 = 17/95

    Ora li sommiamo, e moltiplichiamo il tutto per 9/10 (perché stiamo comunque esaminando i 9/10 esclusi dopo il secondo scelto):

    (1/1710 + 3/95 + 17/95) * 9/10 = 19/100

    Queste sono dunque le probabilità che esca un consecutivo dopo il terzo scelto.

    Se dopo il terzo scelto non è ancora uscito un consecutivo, quindi nelle restanti 1 - (1/10 + 19/100) = 71/100 possibilità, andiamo ad analizzare quello che succede dopo il quarto scelto.

    Se tra i primi tre scelti ci sono sia il #1 che il #20, le probabilità che esca un consecutivo sono 1/17 per ognuno di questi due e 2/17 per il terzo (4/17 in totale); se tra i primi tre scelti c'è uno solo tra il #1 e il #20, le possibilità che esca un consecutivo sono 1/17 per questo e 2/17 per gli altri due (5/17 in totale); se infine tra i primi tre scelti non c'è né il #1 né il #20, le probabilità che esca un consecutivo sono 2/17 per ognuno (6/17 in totale).

    Le probabilità che ci siano sia il #1 che il #20, vediamo quante sono.

    -Se questi escono al primo e al secondo scelto: 2/20 (alla prima scelta dovrebbe uscire uno di quei due su 20 totali) * 1/19 (alla seconda, dopo che uno dei due è uscito, dovrebbe uscire l'altro su 19 totali) = 1/190. Esattamente come visto prima (poi al terzo esce per forza uno diverso da #1 e #20).

    -Se questi escono al primo e al terzo scelto: 2/20 (alla prima scelta dovrebbe uscire uno di quei due su 20 totali) * 18/19 (alla seconda dovrebbe uscire uno diverso da quello rimasto, #1 o #20 che sia, su 19 totali) * 1/18 (alla terza dovrebbe uscire quello rimasto su 18 totali) = 1/190.

    -Se questi escono al secondo e al terzo scelto: 18/20 (alla prima scelta dovrebbe uscire uno diverso da #1 e #20) * 2/19 (alla seconda dovrebbe uscire uno dei due su 19 totali) * 1/18 (alla terza dovrebbe uscire l'altro su 18 totali) = 1/190.

    Quindi: 1/190+1/190+1/190=3/190 possibilità che tra i primi tre ci sia sia il #1 che il #20.

    Le probabilità che non ci sia nessuno dei due tra i primi tre: 18/20 (alla prima deve uscire uno degli altri 18 su 20 totali) * 17/19 (alla seconda deve uscire di nuovo uno di quelli diversi da #1 e #20, diventati 17 dopo la prima scelta, su 19 totali) * 16/18 (stessa cosa) = 68/95.

    Le probabilità che uno solo dei tre sia #1 o #20 la troviamo di nuovo per differenza: 1 - (3/190 + 68/95) = 51/190.

    Quindi, se tra i primi tre c'erano sia #1 che #20: 3/190 * 4/17 = 6/1615

    Se tra i primi tre c'era uno tra #1 e #20: 51/190 * 5/17 = 3/38

    Se tra i primi tre non c'era né #1 e né #20: 68/95 * 6/17 = 24/95

    Di nuovo, le sommiamo e moltiplichiamo il tutto per 71/100 (le possibilità escluse dopo il secondo e il terzo scelto):

    (6/1615 + 3/38 + 24/95) * 71/100 = 4047/17000

    Dunque... Le probabilità che esca un consecutivo dopo il secondo scelto: 1/10

    Che esca dopo il terzo scelto: 19/100

    Che esca dopo il quarto scelto: 4047/17000

    Sommiamole: 1/10 + 19/100 + 4047/17000 = 8977/17000

    E non si può semplificare oltre.

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