-Liuk- ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 7 anni fa

Esercizio serie di Fourier?

Individuare la serie di Fourier del prolungamento periodico pari della funzione f(x) = x per x ∈ [0 , π/2], f(x) = π/2 per x ∈ (π/2 , π], e stabilire il tipo di convergenza.

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1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 6
    7 anni fa
    Risposta preferita

    Il “prolungamento periodico pari” della funzione definita su [0, π] da

    f(x) = x . . . per 0 ≤ x ≤ π/2

    . . . . . π/2 . per π/2 ≤ x ≤ π

    è una funzione *pari* che coincide con la precedente nell’intervallo [0, π].

    Quindi sull’intervallo fondamentale [–π, π]

    . . . . . π/2 . per –π ≤ x ≤ –π/2

    . . . . . –x . per –π/2 ≤ x ≤ 0

    f(x) = x . . . per 0 ≤ x ≤ π/2

    . . . . . π/2 . per π/2 ≤ x ≤ π

    Il grafico di f è una sequenza di trapezi isosceli.

    Poiché f è pari, i coefficienti b(n) sono tutti nulli e la serie di Fourier è del tipo

    . . . . . . . ∞

    ½a(0) + ∑ a(n)cos(nx)

    . . . . . . n=1

    dove

    a(0) =

    . . . π

    π⁻¹ ∫ f(x)dx =

    . . –π

    . . . π

    2π⁻¹ ∫ f(x)dx = (3/4)π

    . . . 0

    a(n) =

    . . . π

    π⁻¹ ∫ f(x)cos(nx)dx =

    . . . –π

    . . . π

    2π⁻¹ ∫ f(x)cos(nx)dx =

    . . . 0

    . . . . π/2 . . . . . . . . . . . . . π

    2π⁻¹ ∫ xcos(nx)dx + 2π⁻¹ ∫ (π/2)cos(nx)dx ] =

    . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . π/2

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . π

    2π⁻¹ [ cos(nx)/n² + xsen(nx)/n ] + 2π⁻¹ [ (π/2)sen(nx)/n ] =

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . π/2

    2π⁻¹ [ cos(nπ/2)/n² + (π/2)sen(nπ/2)/n – 1/n²] + 2π⁻¹ [ –(π/2)sen(nπ/2)/n ] =

    2π⁻¹ [cos(nπ/2) – 1]/n²

    . . . . . –2π⁻¹/n² . . . . se n è dispari

    a(n) = 0 . . . . . . . . . . se n è pari multiplo di 4

    . . . . . –4π⁻¹/n² . . . . se n è pari non multiplo di 4

    La serie ha la forma

    (3/8)π – 2π⁻¹[cos(x)/1 + 2cos(2x)/4 + cos(3x)/9 + cos(5x)/25 + 2cos(6x)/36 + cos(7x)/49 + ...]

    La serie converge uniformemente (quindi anche puntualmente) a f(x) su tutto R in quanto

    a) f è continua e con derivata sinistra e destra in ogni punto di R; questo assicura la convergenza puntuale della serie a f(x), per ogni x in R;

    b) la serie (numerica) dei coefficienti è assolutamente converge, visto che la serie di 1/n² è notoriamente convergente; questo assicura la convergenza uniforme a f su tutto R.

    ciao

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