Disequazione!! 10 puntii?

2cos^2x -3cos x + 1 maggiore uguale 0

2 risposte

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  • Anonimo
    7 anni fa
    Risposta preferita

    cosx = +3 +- radq ( 9 -8) tutto fratto 4

    (3 +- 1) / 4 cosx= 1 cosx= 1/2

    si prendono valori esterni

  • 7 anni fa

    Per comodità faccio la sostituzione k = cosx quindi abbiamo:

    2k² - 3 + 1 ≥ 0

    Questa è una semplice disequazione di secondo grado che si risolve come se fosse un'equazione ma le soluzioni invece di essere 2 sono infinite visto che abbiamo due intervalli. Risolviamo l'equazione innanzitutto:

    2k² - 3 + 1 = 0

    Con la classica regoletta delle equazioni di secondo grado giungiamo a trovare che le soluzioni sono:

    k1 = 1/2

    k2 = 1

    Però è una disequazione quindi come già detto la soluzione è l'unione di due intervalli aventi come estremi queste due soluzioni appena trovate. Dato che il simbolo è ≥ si prendono le soluzioni esterne all'intervallo (k1;k2) quindi:

    1/2 ≥ k ≥ 1

    Ma k non è la nostra incognita bensì x. All'inizio avevamo fatto la sostituzione k = cosx quindi ora facciamo cosx = k. Abbiamo quindi:

    1/2 ≥ cosx ≥ 1

    Ma il coseno di un angolo non può essere maggiore di 1 ma al massimo 1 quindi scriviamo:

    (cosx ≤ 1/2) ∪ (cosx = 1)

    Per il ragionamento analogo il coseno manco può essere minore di -1 quindi al massimo 1 e quindi al posto di cosx ≤ 1/2 scriviamo:

    (-1 ≤ cosx ≤ 1/2) ∪ (cosx = 1)

    Siamo quasi all'epilogo. La nostra incognita è la x e non cosx quindi agli estremi dobbiamo scrivere i valori della x tali per cui il coseno dia rispettivamente -1. 1/2 e 1 quindi:

    (180° ≤ x ≤ 60°) ∪ (x = 0°)

    Nel secondo intervallo tutto ok ma nel primo c'è il problema degli angoli del secondo quadrante e siccome cosx = cos(-x) allora anche l'angolo opposto di 60° cioè -60° ha coseno 1/2 quindi oltre che gli angoli da 60 a 180 dobbiamo considerare anche quelli da 180 a -60 quindi in definitiva gli angoli da 60 a -60 cioè:

    (60° ≤ x ≤ -60°) ∪ (x = 0°)

    Finalmente siamo giunti alla fine e per essere precisi dobbiamo riscrivere gli angoli in forma trigonometrica cioè quella tale per cui 180° equivalgono a π:

    (π/3 ≤ x ≤ -π/3) ∪ (x = 0)

    Ora manca solo la periodicità cioè oltre a questo intervallo e l'angolo nullo dobbiamo mettere tutti gli altri angoli cioè quelli tali per cui possiamo fare più giri della circonferenza goniometrica. Per esempio 0° è soluzione ma anche 720° o 7200° perchè è sempre lo stesso angolo ma con l'angolo 0 non si fanno giri, ma con 720 si fanno 2 giri e con 7200 20 giri. Per contare tutti gli angoli si mette la periodicità cioè:

    (π/3 + 2kπ ≤ x ≤ -π/3 + 2kπ) ∪ (x = 2kπ) con k ∈ Z

    In questo modo contiamo tutti gli angoli e questa è finalmente la soluzione della disequazione di partenza e inserendo uno di questi angoli la disequazione è verificata. Ovviamente k deve essere intero infatti ho messo appartenente a Z cioè l'insieme degli interi. Se k ∉ Z non si farebbero più giri completi e quindi la soluzione sarebbe errata

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