2 Equazioni goniometriche!! 10 punti!?

Question

1) sen(4x + 60°) = sen (2x - 40°)

2)sen^2x + 2senx cosx -3 cos^2 x =0

Answer 1

Risposta preferita

1) sen(4x + 60°) = sen(2x - 40°)

a) 4x + 60° = 2x - 40° + k360°

2x = - 100 + k360°

x = - 50 + k180°

b) 4x + 60° = 180° - 2x + 40° + k360°

6x = 160° + k360°

x = 80°/3 + k60°

2) sen²(x) + 2sen(x)cos(x) + cos²(x) - 4cos²(x) = 0

1 + sen(2x) - 2*2cos²(x)

1 + sen(2x) - 2*(1 + cos(2x) = 0

1 + sen(2x) - 2 - 2cos(2x) = 0

sen(2x) - 2cos(2x) = 1

Formule parametriche:

t = tan(x)

sen(2x) = 2t/(1 + t²)

cos(2x) = (1 - t²)/(1 + t²)

2t - 2(1 - t²) = 1 + t²

2t - 2 + 2t² - 1 - t² = 0

t² + 2t - 3 = 0

(t + 3)(t - 1) = 0

a) tan(x) = - 3

x = atan(-3) + k180° = - atan(3) + k180°

b) tan(x) = 1

x = 45° + k180°

a.v.

Fonte/i: insegnante di Matematica, liceo scientifico.

Answer 2

1) sen(4x + 60°) = sen (2x - 40°)

la funzione a confronto è la stessa, quindi, affinchè si verifichi l'uguaglianza basta che siano uguali gli argomenti

(4x + 60°) = (2x - 40°)

2x = -100°

x = - 50° = 360° - 50° = 310°

2) sen^2(x) + 2sen(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

1 - 1 + sen^2(x) + 2sen(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

- 1 + 2sen^2(x) + 2sen(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

1 - 2sen^2(x) - 2sen(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

1 + cos(2x) - sen(2x) = 0

Le funzioni seno e coseno oscillano tra -1 e 1

quindi si ha soluzione solo quando la somma cos(2x) - sen(2x) = -1.

Questo accade solo quando 2x = 90° o 180°

Quindi ci sono 2 soluzioni periodiche

x = 45° + k*180° U x = 90° + k*180° con k numero intero