Geometria , La curva?

Si consideri la curva

x=t^4+3t^2+1

C: y=2t(t^2+1)

z=-(t^2+t+1)^2

a)verificare che C è una curva e trovare il piano che la contiene

b) determinare la retta tangente a C nel punto (1,0,-1)

c)Scrivere l'equazione della sfera passate per P ed avente Q(5.4.1)come punto diametralmente opposto a P

2 risposte

Classificazione
  • Dani
    Lv 6
    6 anni fa
    Migliore risposta

    a)

    . . .{ x = t^4+3t^2+1

    C: { y = 2t(t^2+1)

    . . .{ z = –(t^2+t+1)^2

    C è curva piana se e solo se esiste un piano contenente tutti i punti di C, ovvero esistono numeri reali a, b, c, d (non tutti nulli), tali che

    a(t^4+3t^2+1) + b(2t(t^2+1)) + c(–(t^2+t+1)^2) + d = 0 . . . . . per ogni t

    e in tal caso ax+by+cz = d è l’equazione del piano.

    Semplificando otteniamo

    (a–c)t^4 + (2b–2c)t^3 + (3a–3c)t^2 + (2b–2c)t + a–c+d = 0

    Questa equazione vale per ogni t se e solo se

    { a–c = 0

    { 2b–2c = 0

    { 3a–3c = 0

    { 2b–2c = 0

    { a–c+d = 0

    a = b = c, d = 0

    Una soluzione non nulla è

    a = 1, b = 1, c = 1, d = 0

    e la curva C è contenuta nel piano

    x + y + z = 0

    b) P = (1,0,–1) = C(0) è il punto di C relativo a t0 = 0 (unica soluzione di 2t(t^2+1) = 0)

    Un vettore tangente a C nel punto C(t) è

    C´(t) = (4t^3+6t, 6t^2+2, –2(t^2+t+1)(2t+1))

    In particolare

    C´(0) = (0, 2, –2)

    La retta tangente a C in C(0) ha equazioni parametriche s → C(0) + sC´(0)

    { x = 1

    { y = s

    { z = –1–s

    avendo sostituito 2s con s.

    c) Se P = (1,0,–1) e Q = (5,4,1) sono punti diametralmente opposti, il centro della sfera è il punto medio di PQ, M = (3,2,0), e il raggio è PM = √(2²+2²+1²) = 3; l’equazione della sfera di centro M e raggio 3 è

    (x–3)² + (y–2)² + z² = 9

    ciao

  • Anonimo
    6 anni fa

    Tu pensa all'ellissoide () nn alla curva...

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