angelo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

per favore aiutatemi... 10 punti al migliore?

é dato il fascio di rette di equazione (k-1)x+(k+1)y+2-k

a)Calcola le coordinate del centro C del fascio

b)Verifica che la retta r del fascio perpendicolare alla retta t di equazione 3x-y=0 passa per l'origine O del sistema di riferimento.

c)Calcola le coordinate dei punti A e B in cui la retta x+y-4=0 interseca,rispettivamente, le rette r e t

d)VErifica che il triangolo BCA ha area tripla di quella del triangolo BOC.

e)Determina sul segmento AB un punto P per il quale il rapporto tra le sue distanze dalla retta CB e della retta CA è RADICE DI 5

3 risposte

Classificazione
  • 6 anni fa

    Dato il fascio di rette di equazione

    (k - 1)x + (k + 1)y + 2 - k = 0

    a = k - 1

    b = k + 1

    c = 2 - k

    1) per determinare le coordinate del centro C del fascio attribuisci a k un qualsiasi valore (scelto opportunamente per semplificare i calcoli):

    k = - 1 ⇔ - 2x + 3 = 0 ⇔ - 2x = - 3 ⇔ x = 3/2

    k = 1 ⇔ 2y + 1 = 0⇔ y = - 1/2

    C(3/3;-1/2)

    2) La retta di equazione y = 3x ha coefficiente angolare m = 3

    Una sua perpendicolare ha coefficiente angolare antireciproco m' = - 1/3

    Se la perpendicolare r appartiene al fascio, passa per C(3/2;-1/2)

    y - yC = m'(x - xC)

    y + 1/2 = (- 1/3)(x - 3/2)

    y = - x/3 + 1/2 - 1/2

    y = - x/3

    Ricordiamo che una retta passante per l'origine degli assi cartesiani manca dell'intercetta q e la sua equazione generica è

    y = - mx

    La retta r di equazione y = - x/3 passa sicuramente per l'origine degli assi cartesiani, mancando del termine q

    3) Intersezione A di x + y - 4 = 0 con la retta r:

    {y = - x/3 ⇔ 4 - x = - x/3 ⇔ 12 - 3x = - x ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

    {y = 4 - x ⇔ y = 4 - 6 ⇔ y = - 2

    A(6:-2)

    Intersezione B della retta di equazione x + y - 4 = 0 con la retta t:

    {3x - y = 0

    {x + y = 4

    Addizioni membro a membro: 4x = 4 ⇔ x = 1

    {x = 1

    {y = 3x ⇔ y = 3

    B(1;3)

    4) Se hai fatto un disegno accurato della figura, vedi subito che

    - il triangolo BOA è rettangolo in O perché

    m(OB) = yB/xB = 3

    m(OA) = yA/xA = -2/6 = - 1/3

    I due coefficienti angolari sono antireciproci, dunque

    OB ⊥ OA ⇔ BÔA = 90°

    Lo stesso per il triangolo BOC che ha BÔC = BÔA = 90°

    Allora calcoliamo:

    OB = √(xB² + yB²) = √(1 + 9) = √10

    OA = √(xA² + yA²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

    OC = √(xC² + yC²) = √(9/4 + 1/4) = √(10/4) = (√10)/2

    Area(BOA) = OB*OA/2 = (√10)*(2√10)/2 = 10

    Area(BOC) = OB*OC/2 = (√10)*(√10)/4 = 10/4 = 5/2

    Area(BCA) = area(BOA - BOC) = 10 - 5/2 = 15/2

    Essendo area BCA = 15/2 e area BOC = 5/2, è verificato che

    area(BCA) = 3*area(BOC)

    5) La retta di AB è la retta di equazione data

    x + y - 4 = 0 ovvero y = - x + 4

    Un punto P di essa ha quindi coordinate

    P(k;4 - k)

    Applichi la formula della distanza punto-retta che devi conoscere, ripassala e studiala bene.

    La retta CB ha equazione

    (y - yB)/(yC - yB) = (x - xB)/(xC - xB)

    (y - 3)/(- 1/2 - 3) = (x - 1)/(3/2 - 1)

    (y - 3)/(- 7/2) = (x - 1)/(1/2)

    y - 3 = - 7x + 7

    y = - 7x + 10 (m = - 7)

    Poiché P sta sopra la retta, applichi la formula senza necessità del valore assoluto:

    PH = (yP - m(xP) - q)/(√(1 + m²)

    PH = (4 - k + 7k - 10)/(√(1 + 49) = 6(k - 1)/√50

    La retta di CA è la retta di equazione y = - x/3 (m = -1/3)

    Applichi la stessa formula per il calcolo della distanza PK:

    PK = (4 - k + k/3)/√(10/9) = (12 - 2k)/√10 = 2(6 - k)/√10

    Deve risultare

    PH =PK*√5

    6(k - 1)/√50 = √5*2(6 - k)/√10

    Semplifichi:

    3(k - 1)/(√5*√10) = √5(6 - k)/√10

    3(k - 1) = 5(6 - k)

    3k - 3 = 30 - 5k

    8k = 33

    k = 33/8

    {xP = k = 33/8

    {yP = 4 - k = 4 - 33/8 = - 1/8

    P(33/8;-1/8)

    a.v.

  • Paolo
    Lv 7
    6 anni fa

    (k-1)x+(k+1)y+2-k = 0

    a)

    trova due rette qualsiasi del fascio e le metti a sistema: l'intersezione è il centro del fascio

    Per ottenere due rette del fascio basta dare a k due valori distinti

    k=1: (1-1)x+(1+1)y+2-1 = 0

    2y +1= 0

    k=-1: (-1-1)x+(-1+1)y+2+1 = 0

    -2x +3= 0

    Mettendole a sistema

    {2y +1= 0

    {-2x +3= 0

    {y = -1/2

    {x = 3/2

    Quindi il centro del fascio è C(3/2, -1/2)

    b)

    Ricava il coeff angolare (funzione di k) del fascio:

    (k-1)x+(k+1)y+2-k = 0

    y = -(k-1)x/(k+1) + (k-2)/(k+1)

    il coeff angolare -(k-1)/(k+1)

    coeff angolare di t: m = 3

    Per essere perpendicolare a t, r deve avere coeff angolare m'= - 1/3

    Quindi

    -(k-1)/(k+1) = -1/3

    3k - 3 = k + 1

    2k = 4

    k = 2

    Quindi r è:

    (2-1)x+(2+1)y+2-2 = 0

    x + 3y = 0 : mancando il termine noto, tale retta passa per l'origine O

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