Esercizi limiti! 10punti assicurati?

Question

1) lim x-> infinito (1 - 3/2x) elevato alla x

2) lim x->0 (1 - 2/3 x) elevato alla 4/x

P.s: la x all interno della parentesi, nel secondo esercizio, vale per tutta la frazione

Answer 1

Risposta preferita

Salve,

lim { {1 - [3/(2x)]}^x} =

x→∞

si tratta di una forma indeterminata 1^∞; moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per - 2/3:

lim { {1 - [3/(2x)]}^{[(- 2/3)x] /(- 2/3)} } =

x→∞

lim { {1 - [3/(2x)]}^{[(- 2x)/3](- 3/2)} } =

x→∞

(per la proprietà delle potenze a^(mn) = (a^m)^n)

lim { {{1 - [3/(2x)]}^[(- 2x)/3]} ^(- 3/2)} =

x→∞

riscriviamo la base dell'esponenziale come:

lim { {{1 + [- 3/(2x)]}^[(- 2x)/3]} ^(- 3/2)} =

x→∞

poniamo:

(- 2x)/3 = t

da cui:

- 3/(2x) = [1 /(- 2x)/3] = 1/t

e osserviamo che se x tende a più infinito, t tende a meno infinito (e se x tende a meno infinito, t tende a più infinito), ottenendo, per sostituzione:

lim { {[1 + (1/t)]^t} ^(- 3/2)} =

t→ -∞

in cui abbiamo il limite notevole lim [1 + (1/t)]^t = e:

...................... ........................ ...t→±∞

lim [(→e)^(- 3/2)] =

t→ -∞

e^(- 3/2) =

1/e^(3/2) =

1 /√e³

===================== ========================

lim {[1 - (2/3)x]^(4/x)} =

x→0

si tratta di una forma indeterminata 1^∞; riscriviamo il limite come:

lim {[1 + (- 2/3)x]^[4(1/x)]} =

x→0

poniamo:

(- 2/3)x = 1/t

da cui:

x = [1/(- 2/3)](1/t) = (- 3/2)(1/t) = - 3/(2t)

1/x = - (2t)/3 = (- 2/3)t

e osserviamo che, se x tende a zero, t tende all'inifinto (per l'esattezza più o meno infinito a seconda che x tenda a 0‾ o a 0⁺) ottenendo, per sostituzione:

lim {[1 + (1/t)]^{4[(- 2/3)t]} } =

t→∞

lim {[1 + (1/t)]^[(- 8/3)t]} =

t→∞

(per la proprietà delle potenze a^(mn) = (a^m)^n)

lim {[1 + (1/t)]^t}^(- 8/3)} =

t→∞

(per limite notevole lim [1 + (1/t)]^t = e)

..................... .........t→∞

lim [(→e)^(- 8/3)] =

t→∞

e^(- 8/3) =

1/e^(8/3) =

1/³√e⁸

spero di essere stato di aiuto

Ciao

Answer 2

ecco i tuoi punti e scusa il ritardo ;)