Esercizi limiti! 10punti assicurati?

1) lim x-> infinito (1 - 3/2x) elevato alla x

2) lim x->0 (1 - 2/3 x) elevato alla 4/x

P.s: la x all interno della parentesi, nel secondo esercizio, vale per tutta la frazione

2 risposte

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  • 6 anni fa
    Risposta preferita

    Salve,

    lim { {1 - [3/(2x)]}^x} =

    x→∞

    si tratta di una forma indeterminata 1^∞; moltiplichiamo e dividiamo l'esponente per - 2/3:

    lim { {1 - [3/(2x)]}^{[(- 2/3)x] /(- 2/3)} } =

    x→∞

    lim { {1 - [3/(2x)]}^{[(- 2x)/3](- 3/2)} } =

    x→∞

    (per la proprietà delle potenze a^(mn) = (a^m)^n)

    lim { {{1 - [3/(2x)]}^[(- 2x)/3]} ^(- 3/2)} =

    x→∞

    riscriviamo la base dell'esponenziale come:

    lim { {{1 + [- 3/(2x)]}^[(- 2x)/3]} ^(- 3/2)} =

    x→∞

    poniamo:

    (- 2x)/3 = t

    da cui:

    - 3/(2x) = [1 /(- 2x)/3] = 1/t

    e osserviamo che se x tende a più infinito, t tende a meno infinito (e se x tende a meno infinito, t tende a più infinito), ottenendo, per sostituzione:

    lim { {[1 + (1/t)]^t} ^(- 3/2)} =

    t→ -∞

    in cui abbiamo il limite notevole lim [1 + (1/t)]^t = e:

    ...................... ........................ ...t→±∞

    lim [(→e)^(- 3/2)] =

    t→ -∞

    e^(- 3/2) =

    1/e^(3/2) =

    1 /√e³

    ===================== ========================

    lim {[1 - (2/3)x]^(4/x)} =

    x→0

    si tratta di una forma indeterminata 1^∞; riscriviamo il limite come:

    lim {[1 + (- 2/3)x]^[4(1/x)]} =

    x→0

    poniamo:

    (- 2/3)x = 1/t

    da cui:

    x = [1/(- 2/3)](1/t) = (- 3/2)(1/t) = - 3/(2t)

    1/x = - (2t)/3 = (- 2/3)t

    e osserviamo che, se x tende a zero, t tende all'inifinto (per l'esattezza più o meno infinito a seconda che x tenda a 0‾ o a 0⁺) ottenendo, per sostituzione:

    lim {[1 + (1/t)]^{4[(- 2/3)t]} } =

    t→∞

    lim {[1 + (1/t)]^[(- 8/3)t]} =

    t→∞

    (per la proprietà delle potenze a^(mn) = (a^m)^n)

    lim {[1 + (1/t)]^t}^(- 8/3)} =

    t→∞

    (per limite notevole lim [1 + (1/t)]^t = e)

    ..................... .........t→∞

    lim [(→e)^(- 8/3)] =

    t→∞

    e^(- 8/3) =

    1/e^(8/3) =

    1/³√e⁸

    spero di essere stato di aiuto

    Ciao

  • 6 anni fa

    ecco i tuoi punti e scusa il ritardo ;)

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