domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

esercizio endomorfismo?

Assegnato l’endomorfismo:

f h : (x,y,z) ∈ R^3 −→

(2x−y, hx+(3−h)y+hz, y+2z) ∈ R^3 , h ∈ R.

a) Determinare gli autovalori di f h e i valori di h tali che

f h sia diagonalizzabile. RISPOSTA: Gli autovalori sono

k 1 = 2 e k 2 = 3 − h. f h ` e diagonalizzabile per h = 0.

b) Determinare i valori del parametro h tali che

dim(Kerf h ) = 1. RISPOSTA: h = 3.

2 risposte

Classificazione
  • 6 anni fa
    Risposta preferita

    1. Troviamo la matrice A che rappresenta Fh, ricordiamo che i coefficienti dell'applicazione vanno messi nelle colonne della matrice A. Si ottiene così

    |2.....h.....0|

    |-1...3-h...1|=A

    |0.....h.....2|

    2. Calcoliamo gli autovalori risolvendo det(A-λI) a cui corrisponde il polinomio caratteristico

    -λ³+(7-h)λ²+(4h-16)λ+12-4h=0

    le cui soluzioni sono

    λ₁=2

    λ₂=2

    λ₃=3

    3. Calcoliamo i rispettivi autovettori

    SE λ=2 ALLORA

    |2.....h.....0|.(x)...(x)

    |-1...3-h...1|*(y)=2(y)

    |0.....h.....2|.(z)....(z)

    la prima componente risulta

    2x+hy=2x → hy=0 due casi

    3.1 SE h≠0 ALLORA y=0

    in tal caso la 2° coordinata

    -x+(3-h)y+z=2y

    -x+(1-h)y+z=0 Poiché y=0 avremo x=z

    4y+2z=2z → 4y=0

    l'unico autovettore possibile è così (1,0,1) (x=z e y=0). In tal caso ai due autovalori λ₁=2; λ₂=2 corrisponde un unico autovettore la matrice non è diagonalizzabile.

    3.2 SE invece h=0 ALLORA la matrice diventa

    |2....0...0|

    |-1...3...1|=A*

    |0....0...2|

    che avrà come autovalori quelli già calcolati λ₁=2; λ₂=2; λ₃=3

    ricalcoliamo gli autovettori

    Per λ=2 avremo

    2x=2x

    -x+3y+z=2y → -x+y+z=0

    2z=2z

    abbiamo due variabili libere. Siano y e z, per cui

    i) Poniamo y=1,z=0 allora x=1 l'autovettore è così (1,1,0)

    ii) Poniamo y=0,z=1 allora x=1 l'autovettore è così (1,0,1)

    Per λ=3 avremo

    2x=3x → x=0

    -x+3y+z=3y → x=z quindi z=0

    2z=3z

    il terzo autovettore è (0,1,0)

    Conclusione SE h=0 ALLORA la matrice è diagonalizzabile.

    b)

    Calcoliamo il Ker(Fh)

    |2.....h.....0|.(x)..(0)

    |-1...3-h...1|*(y)=(0)

    |0.....h.....2|.(z)..(0)

    ottenendo il sistema omogenea

    {2x+hy=0

    {-x+(3-h)y+z=0

    {hy+2z=0

    che ridotto utilizzando Gauss

    {2x+hy+0z=0

    {0x+(6-h)y+2z=0

    {0x+hy+2z=0

    Sappiamo che la dimensione del KerFh=1 quindi la terza equazione si deve annullare senza che si annulli la seconda, sottraendo la 3° dalla 2° si ottiene

    6y-2hy=0

    (6-2h)y=0 per annullare il coefficiente è necessario che

    h=6/2=3.

  • scusami, spero che legga quello che sto per scrivere...

    Per quanto riguarda il punto B, io non mi trovo con le equazioni!

    le equazioni del sistema non dovrebbero essere.. :

    {2x−y=0,

    {hx+(3−h)y+hz=0,

    {y+2z=0 ...o sbaglio?

    Inoltre potrei sapere perchè cancelli la terza equazione? per via del rango =2?

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