esercizio endomorfismo?
Assegnato l’endomorfismo:
f h : (x,y,z) ∈ R^3 −→
(2x−y, hx+(3−h)y+hz, y+2z) ∈ R^3 , h ∈ R.
a) Determinare gli autovalori di f h e i valori di h tali che
f h sia diagonalizzabile. RISPOSTA: Gli autovalori sono
k 1 = 2 e k 2 = 3 − h. f h ` e diagonalizzabile per h = 0.
b) Determinare i valori del parametro h tali che
dim(Kerf h ) = 1. RISPOSTA: h = 3.
2 risposte
- cmcsafeLv 76 anni faRisposta preferita
1. Troviamo la matrice A che rappresenta Fh, ricordiamo che i coefficienti dell'applicazione vanno messi nelle colonne della matrice A. Si ottiene così
|2.....h.....0|
|-1...3-h...1|=A
|0.....h.....2|
2. Calcoliamo gli autovalori risolvendo det(A-λI) a cui corrisponde il polinomio caratteristico
-λ³+(7-h)λ²+(4h-16)λ+12-4h=0
le cui soluzioni sono
λ₁=2
λ₂=2
λ₃=3
3. Calcoliamo i rispettivi autovettori
SE λ=2 ALLORA
|2.....h.....0|.(x)...(x)
|-1...3-h...1|*(y)=2(y)
|0.....h.....2|.(z)....(z)
la prima componente risulta
2x+hy=2x → hy=0 due casi
3.1 SE h≠0 ALLORA y=0
in tal caso la 2° coordinata
-x+(3-h)y+z=2y
-x+(1-h)y+z=0 Poiché y=0 avremo x=z
4y+2z=2z → 4y=0
l'unico autovettore possibile è così (1,0,1) (x=z e y=0). In tal caso ai due autovalori λ₁=2; λ₂=2 corrisponde un unico autovettore la matrice non è diagonalizzabile.
3.2 SE invece h=0 ALLORA la matrice diventa
|2....0...0|
|-1...3...1|=A*
|0....0...2|
che avrà come autovalori quelli già calcolati λ₁=2; λ₂=2; λ₃=3
ricalcoliamo gli autovettori
Per λ=2 avremo
2x=2x
-x+3y+z=2y → -x+y+z=0
2z=2z
abbiamo due variabili libere. Siano y e z, per cui
i) Poniamo y=1,z=0 allora x=1 l'autovettore è così (1,1,0)
ii) Poniamo y=0,z=1 allora x=1 l'autovettore è così (1,0,1)
Per λ=3 avremo
2x=3x → x=0
-x+3y+z=3y → x=z quindi z=0
2z=3z
il terzo autovettore è (0,1,0)
Conclusione SE h=0 ALLORA la matrice è diagonalizzabile.
b)
Calcoliamo il Ker(Fh)
|2.....h.....0|.(x)..(0)
|-1...3-h...1|*(y)=(0)
|0.....h.....2|.(z)..(0)
ottenendo il sistema omogenea
{2x+hy=0
{-x+(3-h)y+z=0
{hy+2z=0
che ridotto utilizzando Gauss
{2x+hy+0z=0
{0x+(6-h)y+2z=0
{0x+hy+2z=0
Sappiamo che la dimensione del KerFh=1 quindi la terza equazione si deve annullare senza che si annulli la seconda, sottraendo la 3° dalla 2° si ottiene
6y-2hy=0
(6-2h)y=0 per annullare il coefficiente è necessario che
h=6/2=3.
- 6 anni fa
scusami, spero che legga quello che sto per scrivere...
Per quanto riguarda il punto B, io non mi trovo con le equazioni!
le equazioni del sistema non dovrebbero essere.. :
{2x−y=0,
{hx+(3−h)y+hz=0,
{y+2z=0 ...o sbaglio?
Inoltre potrei sapere perchè cancelli la terza equazione? per via del rango =2?