domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

esercizio endomorfismo?

Sia F l’applicazione lineare di

R^3 in R^3 tale che:

F(−1,0,0)=(−1,0,0)

F(1,−1,0)=(−1,−1,1)

F(−1,−1,1)=(−3,1,−1)

a) Determinare l’immagine del vettore (0,−3,1)

b) Per quali valori reali del parametro h il vettore

(1,h+1,h+1) è un autovettore per F?

RISPOSTA: h=−1.

1 risposta

Classificazione
  • 6 anni fa

    Chiamiamo g₁,g₂,g₃ la base (-1,0,0); (1,-1,0); (-1,-1,1)

    a) Vediamo come si esprime in temine della base g₁,g₂,g₃ il vettore v(0,-3,1). Indichiamo con a,b,c le coordinate rispetto alla base gi. In tal caso

    (0,-3,1)=a(-1,0,0)+b(1,-1,0)+c(-1,-1,1) al quale corrisponde il sistema

    {-a+b-c=0

    {-b-c=-3

    {c=1

    la cui soluzione risulta essere a=1 ∧ b=2 ∧ c=1

    quindi

    (0,-3,1)=1g₁+2g₂+1g₃

    Applicando la F ad ambo i membri e estraendo la costante (proprietà della linearità)

    F(0,-3,1)=1Fg₁+2Fg₂+1Fg₃=(-1,0,0)+2(-1,-1,1)+1(-3,1,-1)=(-6,-1,1)

    Abbiamo così trovato l'immagine del vettore v.

    b)

    Ripercorriamo il punto a) esprimendo il vettore w=(1,h+1,h+1) nella base g₁,g₂,g₃

    risolvendo il sistema

    {-a+b-c=1

    {-b-c=h+1

    {c=h+1

    la cui soluzione risulta essere a=-2-3h ∧ b=-2(h+1) ∧ c=h+1

    per cui

    (1,h+1,h+1)=(-2-3h)(-1,0,0)-2(h+1)(-1,-1,1)+(h+1)(-3,1,-1)

    risolviamo la prima componente

    2+3h+2(h+1)-3h-3=2h+1

    la seconda componente

    2(h+1)+h+1=3(h+1)

    la terza componente

    -2(h+1)-h(+1)=-3(h+1)

    Quindi

    F(1,h+1,h+1)=(2h+1, 3(h+1), -3(h+1))

    ora per essere un autovalore che chiameremo λ occorre che

    Fw=λw per cui

    1=λ(2h+1)

    h+1=3λ(h+1)

    h+1=-3(h+1)

    le ultime due sono verificate per h=-1, in tal caso la prima diventa

    1=λ(-1)

    quindi l'autovalore λ=-1

    e si ottiene per h=-1.

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