algebra e geometria: endomorfismo?

Question

Assegnato l’endomorfismo:

f h : (x,y,z) ∈ R^3 −→

(2x−y, hx+(3−h)y+hz, y+2z) ∈ R^3 , h ∈ R.

a) Determinare gli autovalori di f h e i valori di h tali che

f h sia diagonalizzabile. RISPOSTA: Gli autovalori sono

k 1 = 2 e k 2 = 3 − h. f h ` e diagonalizzabile per h = 0.

b) Determinare i valori del parametro h tali che

dim(Kerf h ) = 1. RISPOSTA: h = 3.

grazie

Answer 1

Risposta preferita

.....|2.....h.....0|

A=|-1...3-h..1|

.....|0.....h.....2|

Ricerchiamo gli autovalori che sono le soluzioni dell'equazione A-λ I=0 ---->

|2-λ.....h.....0|

|-1...3-h-λ..1| =0 ---->

|0.....h.....2-λ|

(2-λ)² (3-h-λ) - h(2-λ) + h(2-λ) =0 --->

(2-λ)² (3-h-λ)=0 ----> per l'annullamento del prodotto

2-λ =0 ---> λ=2 con m.a =2 ( molteplicità algebrica =2)

3-h-λ =0 ---> λ = 3-h con m.a. = 1

1°)

Per λ=2 il minore del 2° ordine vale:

|0.....h..|

|-1 ..1-h| = h

Ora per λ=2 e h=0 il rango di A vale 1 per cui avrai :

m.g.= dim(A) - ker(A) = 3-1 =2 (m.g. molteplicità geometrica)

Essendo m.a.= m.g. = 2 allora f è diagonizzabile.

2°)

per λ= 3-h

la matrice non è diagonizzabile per h#0.Il solo valore resta h=0

b) Determinare i valori del parametro h tali che

dim(Kerf h ) = 1.

dim(Kerf h ) = 1 solo se il rango di A vale 2 ,ovvero det(A)=0---->

..........|2.....h.....0..|

det(A)|-1...3-h..1..| = 4(3-h) =0 ----> 3-h=0 ---> h=3

..........|.0.....h....2..|

Quindi avrai :

dim(kerf h) = dim(A) -ker(a) = 3-2=1

Ciaoo