per quali valori la matrice è diagonalizzabile?

Question

endomorfismo:

fh : (x,y,z) ∈ R^3 −→ (x + y + z,hy + 2z,z) ∈ R^3, h ∈ R.

a) Determinare i valori del parametro h tali che f h

sia diagonalizzabile. RISPOSTA: h = 3.

grazie

(possibilmente spiegare i passaggi)

Answer 1

Risposta preferita

La matrice associata a fh rispetto alla base canonica di R³ è

Ah =

1 1 1

0 h 2

0 0 1

fh è diagonalizzabile se e solo se Ah è diagonalizzabile (come matrice reale).

Applico il criterio in base al quale una matrice reale è diagonalizzabile se e solo se

1) ha tutti gli autovalori in R, e

2) ogni autovalore ha dimensione geometrica uguale alla sua molteplicaità algebrica.

Gli autovalori di Ah sono i suoi elementi diagonali, dato che Ah è triangolare; essi sono 1, h, 1.

Caso h = 1:

1 è autovalore con molteplicità algebrica 3.

Dato che

A1 – 1I =

0 1 1

0 0 2

0 0 0

ha rango 2, lo spazio nullo di A1 – 1I (ovvero l’autospazio dell’autovalore 1) ha dimensione 3–2 = 1, inferiore alla molteplicità geometrica, ed A1 perciò non è diagonalizzabile.

Caso h ≠ 1:

1 è autovalore con molteplicità algebrica 2, h ≠ 1 è autovalore con molteplicità algebrica 1 .

L’autospazio dell’autovalore h ha dimensione 1 (dato che tale autovalore ha molteplicità algebrica 1), quindi Ah è diagonalizzabile se e solo se l’autospazio E1 dell’autovalore 1 ha dimensione 2 (pari alla sua molteplicità algebrica).

Abbiamo

dim(E1) = 3 – rank(A1 – 1I) = 2 <==> rank(A1 – 1I) = 1

e dato che

A1 – 1I =

0 1 1

0 h-1 2

0 0 0

rank(A1 – 1I) = 1 <==> h–1 = 2 <==> h = 3

Conclusione: Ah è diagonalizzabile se e solo se h = 3

ciao