domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

per quali valori la matrice è diagonalizzabile?

endomorfismo:

fh : (x,y,z) ∈ R^3 −→ (x + y + z,hy + 2z,z) ∈ R^3, h ∈ R.

a) Determinare i valori del parametro h tali che f h

sia diagonalizzabile. RISPOSTA: h = 3.

grazie

(possibilmente spiegare i passaggi)

1 risposta

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    6 anni fa
    Risposta preferita

    La matrice associata a fh rispetto alla base canonica di R³ è

    Ah =

    1 1 1

    0 h 2

    0 0 1

    fh è diagonalizzabile se e solo se Ah è diagonalizzabile (come matrice reale).

    Applico il criterio in base al quale una matrice reale è diagonalizzabile se e solo se

    1) ha tutti gli autovalori in R, e

    2) ogni autovalore ha dimensione geometrica uguale alla sua molteplicaità algebrica.

    Gli autovalori di Ah sono i suoi elementi diagonali, dato che Ah è triangolare; essi sono 1, h, 1.

    Caso h = 1:

    1 è autovalore con molteplicità algebrica 3.

    Dato che

    A1 – 1I =

    0 1 1

    0 0 2

    0 0 0

    ha rango 2, lo spazio nullo di A1 – 1I (ovvero l’autospazio dell’autovalore 1) ha dimensione 3–2 = 1, inferiore alla molteplicità geometrica, ed A1 perciò non è diagonalizzabile.

    Caso h ≠ 1:

    1 è autovalore con molteplicità algebrica 2, h ≠ 1 è autovalore con molteplicità algebrica 1 .

    L’autospazio dell’autovalore h ha dimensione 1 (dato che tale autovalore ha molteplicità algebrica 1), quindi Ah è diagonalizzabile se e solo se l’autospazio E1 dell’autovalore 1 ha dimensione 2 (pari alla sua molteplicità algebrica).

    Abbiamo

    dim(E1) = 3 – rank(A1 – 1I) = 2 <==> rank(A1 – 1I) = 1

    e dato che

    A1 – 1I =

    0 1 1

    0 h-1 2

    0 0 0

    rank(A1 – 1I) = 1 <==> h–1 = 2 <==> h = 3

    Conclusione: Ah è diagonalizzabile se e solo se h = 3

    ciao

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