domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

esercizio geometria analitica?

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta r contenente i punti

A(−2,1,−1), B(−3,1,−2) e la retta s di equazioni

x − 1 = 0

y + z − 1 = 0

a) Determinare l’equazione del piano contenente la retta

r e parallelo alla retta s. RISPOSTA: x − y − z + 2 = 0.

b) Determinare una rappresentazione cartesiana per la

retta passante per P(2,0,0), ortogonale ad r e complanare con s. RISPOSTA:

x + y + z − 2 = 0

x + z − 2 = 0

.

c) Determinare una rappresentazione cartesiana per la

retta passante per Q(0,2,−1), ortogonale e incidente la

retta r. RISPOSTA:

x − 2y − z + 3 =

1 risposta

Classificazione
  • Zargi
    Lv 7
    6 anni fa
    Risposta preferita

    Equazione cartesiana della retta r passante per A(-2,1,-1) e B(-3,1,-2)---->

    (x-Xa)/(Xa-Xb) = (y-Ya)/(Ya-Yb) = (Z-Za)/(Za-Zb) ---->

    (x+2)/1 = (y-1)/0 = (z+1)/1 --->

    {x+2= z+1 ---> x-z+1=0

    {y-1=0 ---------> y-1=0

    a) Determinare l’equazione del piano contenente la retta

    r e parallelo alla retta s.

    Fascio contenente la retta r : combinazione lineare delle equazioni di r ---->

    L(x-z+1) + M(y-1)=0 ----> Lx +My -Lz +L -M =0 (1)

    I parametri direttori della retta s sono :(0,-1,1)

    Per il parallelismo del fascio (1) alla retta s deve essere :

    0*M-1*M +1*(-L)=0 ---> -M-L=0 ---> L=-M

    L'uguaglianza è soddisfatta ponendo L=1 ; M=-1

    Piano richiesto : x-y-z +2=0

    b) Determinare una rappresentazione cartesiana per la

    retta passante per P(2,0,0), ortogonale ad r e complanare con s.

    Tale retta è l'intersezione di due piani : 1° piano : Piano contenente s e passante per P .

    2°piano: Piano passante per P e perpendicolare ad r .

    Equazione del 1° piano: Fascio contenente la retta s :

    L(x-1) +M(y+z-1)=0

    Imponi il passaggio per P(2,0,0) ---> L(2-1) +M(-1)=0 --->L-M=0 ---> L=M

    Tale uguaglianza è vera per L=1 ; M=1

    Equazione del 1° piano : x+y+z-2=0

    Equazione del 2° piano: Piano per P(2,0,0) --->

    a(x-2) +by +cz=0

    Per la perpendicolarità alla retta r con parametri direttori (1,0,1) deve aversi :

    a=1 ; b=0 ; c=1

    Equazione del 2° piano : x+z-2=0

    Retta richiesta : intersezione del piano 1° e del piano 2° ---->

    {x + y + z − 2 = 0

    {x + z − 2 = 0

    c) Determinare una rappresentazione cartesiana per la

    retta passante per Q(0,2,−1), ortogonale e incidente la

    retta r.

    Un generico punto P appartenente alla retta r ha coordinate :

    P(k-1, 1 , k) ottenuto ponendo z=k

    I parametri direttori della retta PQ sono ( k-1, -1, k+1) [differenza delle coordinate corrispondenti ]

    Imponi la perpendicolarità della retta PQ alla retta r con parametri direttori (1,0,1) --->

    1*(k-1) +0*(-1) +1*(k+1)=0 ---> k-1 +k +1=0 ---> k=0

    Per tale valore di k le coordinate di P sono :

    P(-1,1,0)

    La retta richiesta è la retta passante per P e per Q ---->

    (x+1)/-1 = (y-1)/-1 = z/1 ---> x+1 = y-1 = -z

    Uguagliando 1°e 2° poi 2° e 3° avrai:

    {x+1= y-1 ---> x-y+2=0

    {y-1=-z ---> y+z-1=0

    Ciaoo

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