domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

esercizio geometria?

3) Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono-

metrico ortogonale, si considerino la retta r contenente

i punti A(0,1,1), B(1,0,2), la retta s di equazioni

x + z = 0

y + z − 1 = 0

,

il piano π di equazione 2x + y + 1 = 0 e il punto

P(0,−2,1).

a) Determinare l’equazione del piano contenente s e parallelo

ad r.

b) Determinare una rappresentazione per la retta passante per

P, ortogonale sia ad r che ad s.

c) Determinare una rappresentazione per la retta passante per

P complanare con s e parallela a π.

1 risposta

Classificazione
  • ?
    Lv 7
    6 anni fa
    Risposta preferita

    a) Determinare l’equazione del piano contenente s e parallelo

    ad r.

    il fascio di piani per s è una combinazione lineare delle equazioni di s :----->

    L(x+z) +M(y+z-1)=0 ---> Lx +Lz +My +Mz -M=0 --->

    Lx +My +(L+M)z -M=0 (1)

    Le componenti del vettore A-B che forniscono la direzione della retta r sono :

    A-B=(Xb-Xa , Yb-Ya, Zb-Za) =(1,-1,1)

    Per il parallelismo del fascio (1) alla retta r deve essere:

    1*L -1*M +1(L+M)=0 ---> L -M +L -M=0 ---> L=0 ed M qualunque : per M=1 ---->

    y+z-1=0 piano richiesto

    b) Determinare una rappresentazione per la retta passante per

    P, ortogonale sia ad r che ad s.

    Le componenti del vettore v che danno la direzione di s sono :

    v(-1,-1,1)

    Equazioni della retta per P(0,-2,1) in forma parametrica :---->

    {x=Lt

    {y=-2+Mt

    {z=1 +Nt

    Per la perpendicolarità ad r deve essere:

    {L-M+N=0 ..(2)

    Per la perpendicolarità sd s deve aversi :

    {-L-M+N=0 ..(3)

    Risolvi il sistema formato dalla (2) e (3) ---->

    {L-M+N=0

    {-L-M+N=0 ----> sommando

    -2M +2N=0 ---> M=N poni M=1 ; N=1

    sostituendo in L-M+N =0 ---> L -1+1=0 ----> L=0

    Retta richiesta :

    {x=0

    {y=-2 +t

    {z=1+t

    c) Determinare una rappresentazione per la retta passante per

    P complanare con s e parallela a π.

    Tale retta puoi averla come intersezione del piano contenente s e passante per P (0,-2,1) e del piano parallelo al piano ¶ e passante per P :

    1° piano :Fascio contenente s : Lx +My +(L+M)z=0 [ trovato in precedenza ]

    Imponi il passaggio per P (0,-2,1) ---> -2M +L+M=0 ---->

    -M +L=0 ----> L=M .

    Tale uguaglianza è vera ponendo L=1 ; M=1

    Equazione del piano per P e contenente s :

    x+y+2z=0

    2° piano : Fascio parallelo al piano ¶ : 2x+y +k=0

    Imponi il passaggio per P ---->k=2

    2° piano : 2x +y +2=0

    La retta richiesta è l'intersezione del piano 1° e del piano 2° :---->

    {x+2y+2z=0

    {2x+y+2=0

    Ciaoo

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