esercizio geometria?

Question

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico or-

togonale, si considerino la retta r contenente i punti A(4,0,0) e

B(4,1,−1), la retta s contenente i punti C(3,2,−1) e D(3,1,0).

a) Verificare che le rette le rette r ed s sono com-

planari e determinare l’equazione del piano α che le

contiene. RISPOSTA: x + y + z − 4 = 0.

b) Determinare l’equazione del piano contenente la

retta r e ortogonale al piano α (determinato al punto

a). RISPOSTA: 2x − y − z − 8 = 0.

c) Determinare una rappresentazione cartesiana per

la retta passante per il punto P(0,0,4), ortogonale

e incidente la retta r. RISPOSTA:

x + y + z − 4 = 0

y − z + 4 = 0

.

Answer 1

Risposta preferita

a) Verificare che le rette r ed s sono complanari e determinare l’equazione del piano α che le

contiene.

Per tre punti non in linea retta passa un solo piano ; Equazione del piano passante per A; B; D ---->(1° orizzontale : coordinate di A ; 2°orizzontale : coordinate di B ; 3° orizzontale :coordinate di D ; 4°orizzontale: x;y;z. La 4° verticale tutti 1.)La risoluzione di tale determinante fornisce l'equazione del piano richiesto:

|. 4...0...0...1..|

|..4.. 1..-1 ..1.|

|..3...1...0...1..| =0 ----> RISOLVENDO

|..x ..y...z...1..|

4(-y+z-z+1)- 1(4z-3y+x-3z)=0 --->

x+y+z-4=0 (piano richiesto)

Per verificare che le due rette AB e CD sono complanari, basta fare vedere che anche C(3,2,-1) appartiene a tale piano ovvero le sue coordinate soddisfano l'equazione del piano :------>

3+2-1-4=0 ---> 0=0

quindi anche C appartiene al piano per cui le rette AB e CD sono complanari.

Puoi anche verificare che sono complanari, osservando che AB e CD hanno gli stessi parametri direttori (0,1,-1) .

b) Determinare l’equazione del piano contenente la

retta r e ortogonale al piano α (determinato al punto

a).

Scrivi l'equazione di r in forma cartesiana :---->

(x-4)/0 = y/1= z/-1 --->

{x-4=0

{y=-z ---> y+z=0

Equazione del fascio di piani per r :---->

L(x-4) +M(y+z)=0 ----> Lx -4L +My +Mz=0 --->

Lx +My +Mz -4L=0

Per la perpendicolarità al piano α con parametri direttori( 1,1,1) deve essere :

L+M+M=0 ---> L+2M=0 ---> L=-2M ---> L=2 ; M=-1

Piano richiesto :

2x -y -z-8=0

c) Determinare una rappresentazione cartesiana per

la retta passante per il punto P(0,0,4), ortogonale

e incidente la retta r.

Tale retta è l'intersezione di due piani :

1°) piano : piano contenente r e passante per P(0,0,4) ---->

L(x-4) +M(y+z)=0 ---> passaggio per P(0,0,4) --->

L(-4) +M(4)=0 ---> -4L+4M=0 ---> L=M ----> L=1 ; M=1

Equazione del 1° piano : x-4 +y+z=0 --->

x+y +z -4=0

2°) piano : piano per P e perpendicolare ad r :----->

a(x -0) +b(y-0) +c(z-4)=0

Per la perpendicolarità ad r di parametri direttori (0,1,-1) deve aversi:

a=0 ; b=1 ; c= -1

Equazione del 2° piano : y-z+4=0

Retta richiesta:

{x+y+z-4=0

{y-z+4=0

Ciaooo