domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

esercizio geometria?

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono-

metrico ortogonale, si considerino la retta r contenente

i punti A(2,0,1), B(4,3,0) ed il piano α di equazione

2x − y + 2 = 0.

a) Determinare l’equazione del piano contenente

P(2,1,0), ortogonale ad α e parallelo a r. RISPOSTA:

x + 2y + 8z − 4 = 0.

b) Determinare le equazioni della retta passante per

Q(0,1,1), parallela ad α e ortogonale a r. RISPOSTA:

2x + 3y − z − 2 = 0

2x − y + 1 = 0

.

c) Determinare le equazioni della retta passante per

R(2,2,0), ortogonale e incidente la retta r. RISPOSTA:

x − 2y − 4z + 2 = 0

2x + 3y − z − 10 = 0

.

1 risposta

Classificazione
  • Zargi
    Lv 7
    6 anni fa
    Risposta preferita

    Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono-

    metrico ortogonale, si considerino la retta r contenente

    i punti A(2,0,1), B(4,3,0) ed il piano α di equazione

    2x − y + 2 = 0.

    I parametri direttori della retta r passante per A e per B sono :

    (2,3,-1) [ cioè la differenza tra le coordinate corrispondenti]

    Scrivi pure le equazioni di tale retta r in forma cartesiana:

    (x-2)/2= y/3 = (z-1)/-1 ---->(x-2)/2= y/3 = (1-z)/1 ---->

    {(x-2)/2 = 1-z ---> x-2= 2-2z ---> {x+2z-4=0

    {y/3= 1-z -----> y= 3-3z -------->{y+3z-3=0

    Osserva pure che le componenti del vettore n normale al piano 2x-y+2 =0 sono :

    n(2,-1,0) .

    a) Determinare l’equazione del piano contenente

    P(2,1,0), ortogonale ad α e parallelo a r.

    Generico piano per P(2,1,0) ---->

    a(x-2)+b(y-1) +cz=0

    Per la perpendicolarità con il piano α deve essere :

    {2a -b=0 (1)

    Per il parallelismo ad r deve aversi :

    {2a+3b-c=0 (2)

    Risolvi il sistema formato dalla (1) e dalla (2) ---->

    {2a -b=0

    {2a +3b -c=0 ----> sottraendo la 1° dalla 2°

    {4b-c=0 ---> c=4b

    {c=4b

    {2a -b=0 ---> a=-b/2

    Ponendo b=2 avrai

    {b=2

    {a=1

    {c=8

    Piano richiesto :

    1(x-2) +2(y-1)+8z=0 --->x+2y+8z-4=0

    b) Determinare le equazioni della retta passante per

    Q(0,1,1), parallela ad α e ortogonale a r.

    Equazioni della retta passante per Q(0,1,1) ---->

    (x-0)/L = (y-1)/M = (z-1)/N

    Per il parallelismo al piano α si ha :

    {2L-M=0

    Per la perpendicolarità ad r --->

    {2L+3M-N=0

    Il sistema è analogo a quello del punto a per cui le soluzioni sono :

    {L=1 ; M=2 ; N=8

    Equazione della retta richiesta :

    x/1= (y-1)/2 = (z-1)/8 ---->

    {x=(y-1)/2 ---> 2x = y-1 ----> 2x -y +1=0

    {(y-1)/2 = (z-1)/8 ---> 4y-4=z-1 ---> 4y -z-3=0

    .

    c) Determinare le equazioni della retta passante per

    R(2,2,0), ortogonale e incidente la retta r

    1°)

    Piano contenente la retta r e passante per R(2,2,0)--->combinazione lineare delle equazioni di r

    L(x+2z-4)+M(y+3z-3)=0 ---> imponi il passaggio per R ----->

    L(2-4) +M(2-3)=0 ---> -2L-M=0 ---> 2l=-M --->

    Uguaglianza soddisfatta per L=1 ; M=-2

    Equazione del piano contenente r e passante per R :

    1(x+2z-4) -2(y+3z-3)=0 ----> x +2z -4 -2y -6z +6=0 --->

    x-2y -4z +2=0

    2°)

    Piano per R e ortogonanale ad r --->

    a(x-2) +b(y-2) +cz=0

    Per la perpendicolarità alla retta r deve essere :

    a=2 ;b=3 ; c=-1

    Equazione del piano:

    2(x-2) +3(y-2) - z=0 ----> 2x +3y -z -10 =0

    L'equazione della retta richiesta è la intersezione dei due piani :

    {x-2y -4z +2=0

    {2x +3y -z -10 =0

    Ciaoo

    .

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