Determinare l’equazione del piano contenente P , parallelo ad r e ortogonale ad α?

Question

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono-

metrico ortogonale, si considerino la retta r contenente

i punti A(0, 1, 1), B(1, 0, −1), il piano α di equazione

y + z = 0 e il punto P (1, 1, 0).

a) Determinare l’equazione del piano contenente P ,

parallelo ad r e ortogonale ad α. RISPOSTA: x−y+z =

0.

b) Determinare le equazioni della retta passante

per P , complanare con r e parallela ad α.

RISPOSTA:

 x − y + z = 0

y + z − 1 = 0

.

c) Determinare le equazioni della retta contenuta

in α passante per l’origine e ortogonale a r.

RISPOSTA:

 y + z = 0

x − y − 2z = 0

.

Answer 1

Risposta preferita

A(0,1,1) ; B(1,0,-1)

i parametri direttori della retta r passante per A e B sono (1,-1,-1) cioè la differenza tra le coordinate corrispondenti di B e di A

Scrivo la retta r in forma cartesiana (intersezione di piani) ---->

x/1= (y-1)/-1 = (z-1)/-2 ----> x/1 = (1-y)/1 = (1-z)/2 ---->

{x=1-y ---> x+y-1=0

{x=(1-z)/2 ---> 2x = 1-z ---> 2x+z -1=0

Inoltre le componenti del vettore n normale al piano α sono : n(0,1,1)

a) Determinare l’equazione del piano contenente P ,

parallelo ad r e ortogonale ad α.

Fascio di piani per P --->

a(x-1) +b(y-1) +cz=0

Per il parallelismo ad r deve essere:

{1*a -1*b-2*c=0 ---> a- b -2c=0 (1)

Per la perpendicolarità ad α si ha :

{0*a +1*b +1*c=0 ---->b+c=0 (2)

Risolvi il sistema formato da (1) e da (2) --->

{b+c=0

{a-b-2c=0 --->

{b=-c

{a+c-2c=0 ---> a=c

Ponendo c=1 avrai: a=1 ; b=-1 ; c=1

Piano richiesto :

x-1 -1(y-1) +z=0 ---> x-y +z=0

b) Determinare le equazioni della retta passante

per P , complanare con r e parallela ad α.

1°)

Piano contenente la retta r :

L(x+y-1) +M(2x+z-1)=0 ----> passaggio per P(1,1,0) --->

L(1+1-1) +M(2-1)=0 ---> L+M=0 ---> L=-M --->

L=1 ; M=-1

Piano contenente r e passante per P : x+y-1 -2x -z+1=0 --->

x-y+z=0

2°)

Piano per P e parallelo al piano α ---->

a(x-1) +b(y-1) +cz=0

Per il parallelismo con α deve essere : a=0 ; b=1 ; c=1

Equazione : y-1+z=0 ----> y+z-1=0

La retta richiesta è l'intersezione del piano 1° e del piano 2° --->

{x-y+z=0

{y+z-1=0

.

c) Determinare le equazioni della retta contenuta

in α passante per l’origine e ortogonale a r.

La retta richiesta è l'intersezione del piano α col piano per O(0,0,0) e perpendicolare ad r :

Piano per O ----->

ax+by +cz=0

Per la perpendicolarità ad r deve essere :

a=1 ; b=-1 ; c=-2

Equazione del piano : x-y -2z =0

Retta richiesta :

{y+z=0

{x-y-2z=0

Ciaoo