domy ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 anni fa

Determinare l’equazione del piano contenente P , parallelo ad r e ortogonale ad α?

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano mono-

metrico ortogonale, si considerino la retta r contenente

i punti A(0, 1, 1), B(1, 0, −1), il piano α di equazione

y + z = 0 e il punto P (1, 1, 0).

a) Determinare l’equazione del piano contenente P ,

parallelo ad r e ortogonale ad α. RISPOSTA: x−y+z =

0.

b) Determinare le equazioni della retta passante

per P , complanare con r e parallela ad α.

RISPOSTA:

 x − y + z = 0

y + z − 1 = 0

.

c) Determinare le equazioni della retta contenuta

in α passante per l’origine e ortogonale a r.

RISPOSTA:

 y + z = 0

x − y − 2z = 0

.

1 risposta

Classificazione
  • Zargi
    Lv 7
    6 anni fa
    Risposta preferita

    A(0,1,1) ; B(1,0,-1)

    i parametri direttori della retta r passante per A e B sono (1,-1,-1) cioè la differenza tra le coordinate corrispondenti di B e di A

    Scrivo la retta r in forma cartesiana (intersezione di piani) ---->

    x/1= (y-1)/-1 = (z-1)/-2 ----> x/1 = (1-y)/1 = (1-z)/2 ---->

    {x=1-y ---> x+y-1=0

    {x=(1-z)/2 ---> 2x = 1-z ---> 2x+z -1=0

    Inoltre le componenti del vettore n normale al piano α sono : n(0,1,1)

    a) Determinare l’equazione del piano contenente P ,

    parallelo ad r e ortogonale ad α.

    Fascio di piani per P --->

    a(x-1) +b(y-1) +cz=0

    Per il parallelismo ad r deve essere:

    {1*a -1*b-2*c=0 ---> a- b -2c=0 (1)

    Per la perpendicolarità ad α si ha :

    {0*a +1*b +1*c=0 ---->b+c=0 (2)

    Risolvi il sistema formato da (1) e da (2) --->

    {b+c=0

    {a-b-2c=0 --->

    {b=-c

    {a+c-2c=0 ---> a=c

    Ponendo c=1 avrai: a=1 ; b=-1 ; c=1

    Piano richiesto :

    x-1 -1(y-1) +z=0 ---> x-y +z=0

    b) Determinare le equazioni della retta passante

    per P , complanare con r e parallela ad α.

    1°)

    Piano contenente la retta r :

    L(x+y-1) +M(2x+z-1)=0 ----> passaggio per P(1,1,0) --->

    L(1+1-1) +M(2-1)=0 ---> L+M=0 ---> L=-M --->

    L=1 ; M=-1

    Piano contenente r e passante per P : x+y-1 -2x -z+1=0 --->

    x-y+z=0

    2°)

    Piano per P e parallelo al piano α ---->

    a(x-1) +b(y-1) +cz=0

    Per il parallelismo con α deve essere : a=0 ; b=1 ; c=1

    Equazione : y-1+z=0 ----> y+z-1=0

    La retta richiesta è l'intersezione del piano 1° e del piano 2° --->

    {x-y+z=0

    {y+z-1=0

    .

    c) Determinare le equazioni della retta contenuta

    in α passante per l’origine e ortogonale a r.

    La retta richiesta è l'intersezione del piano α col piano per O(0,0,0) e perpendicolare ad r :

    Piano per O ----->

    ax+by +cz=0

    Per la perpendicolarità ad r deve essere :

    a=1 ; b=-1 ; c=-2

    Equazione del piano : x-y -2z =0

    Retta richiesta :

    {y+z=0

    {x-y-2z=0

    Ciaoo

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