Studio del segno?

Question

Salve a tutti sapete dirmi cosa ho sbagliato?Se scrivo la funzione su derive mi da un grafico diverso

Answer 1

Risposta preferita

La griglia dei segni può essere usata quando si hanno prodotti di due o più fattori. Nel tuo caso, se leggo bene

f(x)=1/(x+2) + arctg(x/|x^2-4|)

OK il passaggio Segno arctgy=Segno y

Ma non puoi usare la griglia

Si aprono così tre casi

i) SE x>0 ALLORA i due addendi sono positivi quindi f(x)>0

ii) SE x<-2 ALLORA i due addendi sono negativi quindi f(x)<0

iii) SE invece -2<x<0 il primo addendo è positivo mentre il secondo è negativo. Abbiamo il sentore che il termine positivo sia maggiore di quello negativo, se riusciamo a dimostrarlo allora anche in questo caso la funzione data è positiva

Per risolvere l'inghippo definiamo

ψ(x)=1/(x+2)-arctg(x/|x^2-4|) definita in (-2,0]

tale funzione è monotona decrescente

• monotona decrescente infatti è somma di due funzioni monotone decrescenti (ricordo che l'arctgx è crescente per cui -arctgx è decrescente

• lim(x→2⁺) f(x)=+oo (passaggio per nulla necessario ma costituisce un'utile verifica)

• ψ(0)=1/2-0=1/2

quindi ψ(x) risulta positiva in (-2,0) e per cui lo sarà f(x)

Conclusione.

La funzione data

i) f(x)<0 per x<-2

ii) f(x)>0 in (-2,2) U (2,+oo)

Answer 2

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