David ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 5 anni fa

Velocità tramite equazione d onda?

Salve devo risolvere un esercizio ma non capisco il metodo da seguire.

Chiamerò d derivata parziale

Mediante l equazione d^2y/dx^2=(1/v ^2 )*d^2y/dt ^ 2 , trovare la velocita dell onda descritta dalla funzione

y(x, t)=(2 mm)*[(20 m^-1) x - (4s^-1) t]^ 0, 5

Come devo procedere?

1 risposta

Classificazione
  • 5 anni fa

    " y(x, t)=(2 mm)*[(20 m^-1) x - (4s^-1) t]^ 0, 5 " è scritta in modo aberrante

    se componi una funzione con dei dati si suppone che tu come prima cosa converta tutte le misure in un sistema dimensionale noto (non necessariamente quello internazionale) e soprattutto che tu non metta le dimensioni in una funzione matematica .. comunque,

    diciamo che la tua funzione applicativa sia y(x,t) = a√(b x - c t^2)

    [ i valori di a,b e c poi li metterai tu a tuo piacimento

    una volta chiarite tra te e l'esercizio le dimensioni corrette ]

    dobbiamo trovare una soluzione a

    ∂²y/∂x² - 1/v² ∂²y/∂t² = 0

    che possiamo riscrivere come

    (∂y/∂x - 1/v ∂y/∂t)(∂y/∂x + 1/v ∂y/∂t) = 0

    il che ci permette di restingere il problema al sistema

    ( ∂y/∂x - 1/v ∂y/∂t = 0 ) v (∂y/∂x + 1/v ∂y/∂t = 0 )

    ∂y//∂x = d/dx (a√(bx - ct^2)) = ab/(2√(bx - ct^2))

    ∂y//∂t = d/dx (a√(bx - ct^2)) = - act/√(bx - ct^2)

    per cui con ∂y/∂x - 1/v ∂y/∂t = 0

    ab/(2√(bx - ct^2)) - (1/v)(- act/√(bx - ct^2)) = 0

    a(bv + 2ct)/(2v√(bx - ct^2)) = 0

    a(bv + 2ct) = 0

    v = -2ct/b

    con ∂y/∂x + 1/v ∂y/∂t = 0

    ab/(2√(bx - ct^2)) + (1/v)(- act/√(bx - ct^2)) = 0

    a(bv - 2ct)/(2v√(bx - ct^2)) = 0

    a(bv - 2ct) = 0

    v = -2ct/b

    quindi come soluzione generale hai v = ±2ct/b

    SE.. e dico SE.. nel tuo caso dovessimo porre

    a = (2mm) .. non ce ne frega niente dato che a non entra nelle soluzioni

    b = 20

    c = 4

    avremmo v = ± 2·4·t/20 = ± 2/5 t

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