Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 5 anni fa

Determinare assi ellisse ruotata?

E' una vita che non faccio geometria analitica e non ricordo come si faccia (mi serve per una dimostrazione all'università).

Mi trovo con un'ellisse espressa nella forma:

C1*x^2 + C2*x*y + C3*y^2 = m^2

Devo determinarne semiasse maggiore a, e semiasse minore b.

Ho pensato di fare al seguente modo.

Innanzitutto divido tutto per m^2, in modo da trovarmi nella seguente situazione:

D1*x^2 + D2*x*y + D3*y^2 = 1

dopodiché ho considerato:

a^2 = 1/D1

b^2 = 1/D3

Tutto ciò ha senso, o sto toppando in pieno? Mi hanno detto che il termine misto xy determina solo una rotazione.

2 risposte

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    5 anni fa
    Risposta preferita

    Vedi l'articolo

    http://www.dima.unige.it/~arezzo/MDGeo/App7-FormCa...

    Ti trovi con una conica espressa nella forma

    * a*x^2 + b*x*y + c*y^2 = m^2

    e ti occorre trovare le lunghezze dei semiassi.

    A) Scrivere l'equazione in forma normale canonica

    * a*x^2 + b*x*y + c*y^2 = m^2 ≡

    ≡ a*x^2 + b*x*y + c*y^2 - m^2 = 0

    e riconoscere che l'origine è centro di simmetria, quindi centro della conica.

    B) Applicare la generica rotazione (x = X*cos(θ) - Y*sen(θ)) & (y = X*sen(θ) + Y*cos(θ))

    * a*x^2 + b*x*y + c*y^2 - m^2 = 0 ≡

    ≡ a*(X*cos(θ) - Y*sen(θ))^2 + b*(X*cos(θ) - Y*sen(θ))*(X*sen(θ) + Y*cos(θ)) + c*(X*sen(θ) + Y*cos(θ))^2 - m^2 = 0 ≡

    ≡ (a*cos^2(θ) + b*sen(θ)*cos(θ) + c*sen^2(θ))*X^2 + (b*cos^2(θ) + 2*c*sen(θ)*cos(θ) - 2*a*sen(θ)*cos(θ) - b*sen^2(θ))*X*Y + (a*sen^2(θ) - b*sen(θ)*cos(θ) + c*cos^2(θ))*Y^2 - m^2 = 0

    C) Determinare il valore θ = K che annulla il coefficiente del termine rettangolare

    * b*cos^2(K) + 2*c*sen(K)*cos(K) - 2*a*sen(K)*cos(K) - b*sen^2(K) = 0

    D) Ridurre l'equazione ruotata alla forma normale standard (X/A)^2 + (Y/B)^2 = 1

    * (a*cos^2(K) + b*sen(K)*cos(K) + c*sen^2(K))*X^2 + (a*sen^2(K) - b*sen(K)*cos(K) + c*cos^2(K))*Y^2 - m^2 = 0 ≡

    ≡ ((a*cos^2(K) + b*sen(K)*cos(K) + c*sen^2(K))/m^2)*X^2 + ((a*sen^2(K) - b*sen(K)*cos(K) + c*cos^2(K))/m^2)*Y^2 = 1

    E) Identificare le richieste lunghezze dei semiassi.

    * A = √(m^2/(a*cos^2(K) + b*sen(K)*cos(K) + c*sen^2(K)))

    * B = √(m^2/(a*sen^2(K) - b*sen(K)*cos(K) + c*cos^2(K)))

    Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

    v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-...

  • 5 anni fa

    Leggi la prima risposta (di Ispirato) qui:

    https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20...

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