Calcolo derivata seconda di (x^-2x)/ (x-1)^2?

Question

Avrei bisogno di tutti i passaggi. Grazie!

Answer 1

Risposta preferita

A) REGOLE DI DERIVAZIONE

A1) d/dx x^n = n*x^(n - 1)

A2) d/dx (f(x))^n = n*(f(x)^(n - 1))*f'(x)

A3) d/dx e^f(x) = f'(x)*e^f(x)

A4) d/dx x^f(x) = d/dx e^(f(x)*ln(x)) = (x*ln(x)*f'(x) + f(x))*x^(f(x) - 1)

A5) d/dx A(x)*B(x) = B(x)*A'(x) + A(x)*B'(x)

A6) d/dx N(x)/D(x) = (D(x)*N'(x) - N(x)*D'(x))/D^2(x)

A7) d/dx (d/dx N(x)/D(x)) = d/dx ((D(x)*N'(x) - N(x)*D'(x))/D^2(x)) =

= (D^2(x)*N''(x) - (2*N'(x)*D'(x) + N(x)*D''(x))*D(x) + 2*N(x)*(D'(x))^2)/D^3(x)

B) TUTTI I PASSAGGI

B1) Funzioni

* N(x) = x^(- 2*x)

* D(x) = (x - 1)^2

* D^2(x) = (x - 1)^4

* D^3(x) = (x - 1)^6

* f(x) = N(x)/D(x) = (x^(- 2*x))/(x - 1)^2

B2) Derivate prime

* N'(x) = - 2*(ln(x) + 1)*x^(- 2*x)

* D'(x) = 2*(x - 1)

* (D'(x))^2 = 4*(x - 1)^2 = 4*D(x)

* f'(x) = N(x)/D(x) = - 2*(x + (x - 1)*ln(x))*x^(- 2*x)/(x - 1)^3

B3) Derivate seconde

* N''(x) = (4*x*(ln(x) + 1)^2 - 2)/x^(2*x + 1)

* D''(x) = 2

* f''(x) = ((2/x^(2*x + 1))*(2*(x^3)*(ln(x) + 1)^2 - (x^2)*(2*ln(x) + 1)^2 + x*(2*ln(x) + 3) - 1))/(x - 1)^4

Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-...

Answer 2

Per evitare confusione, innanzitutto io trasformerei x^ (-2x) = e ^ ln( x^(-2x)) = e^ (-2x * ln(x))

Per la regola di derivazione del rapporto, la derivata è

[ der(e^ (-2x * ln(x)) )* (x-1)^2 - (e^ (-2x * ln(x)) ) * der( ( x-1)^2 ) ] / (x-1)^4

[ e^ (-2x * ln(x)) * der(-2x * lnx) * (x-1)^2 - e^ (-2x * ln(x)) *2*(x-1) ] / (x-1) ^4 e semplifico (x-1)

[ e^ (-2x * ln(x)) * (-2*lnx -2x*(1/x) ) * (x-1) - e^ (-2x * ln(x)) * 2 ] / (x-1) ^3

raccolgo l'esponenziale: ( e anche -2)

-2*e^ (-2x * ln(x)) * [ (lnx +1 ) * (x-1) +1 ] / (x-1) ^3

-2*e^ (-2x * ln(x)) * [ x*lnx - lnx + x -1 +1 ] / (x-1) ^3

-2*e^ (-2x * ln(x)) * [ x*lnx - lnx + x ] / (x-1) ^3