matteo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 anni fa

Funzione inversa di y=1/(x^2+1) ?

5 risposte

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  • Anonimo
    4 anni fa

    Il calcolo è semplice da fare.

  • 4 anni fa

    Calcoliamo il Dominio per poi chiederci se la funzione ammette inversa, cioè se è biiettiva

    1. Dominio

    Si tratta di una funzione razionale fratta quindi definita in tutto ℝ salvo i punti che annullano il denominatore.

    Nel nostro caso non esiste una x reale che rende nullo il denominatore quindi

    Dominio=ℝ.

    2. La funzione è invertibile? NO. La funzione NON è iniettiva. Per dimostrarlo facciamo vedere che esistono due punti diversi che possiedono la stessa immagine.

    Scegliamo i punti -1 e +1. E' del tutto ovvio che sono distinti ma

    f(-1)=1/[(-1)^2+1]=1/2

    f(+1)=1/[(1)^2+1]=1/2

    Conclusione. La funzione NON è invertibile.

    Così finisce l'esercizio, proprio se sei interessato puoi proseguire.

    Possiamo, sulla falsa riga del seno, determinare una funzione f*(x) ristretta della precedente che risulta invertibile.

    f*(x)=[0,+oo) →ℝ

    f*(x)=1/(x^2+1)

    Ora f*(x) è iniettiva, infatti è monotona decrescente in [0,+oo)

    Se consideriamo due punti distinti x₁,x₂ del Dominio [0,+oo) con 0≤x₁<x₂ ALLORA

    0≤x₁²<x₂²

    0≤x₁²+1<x₂²+1

    0≤1/(x₂²+1)<1/(x₁²+1)

    Oltre all'iniettività la monotonia ci permette di valutare il Codominio, infatti

    f*(0)=1

    limf*(x)=0

    x→+oo

    quindi il codominio di f*risulta essere Cod=(0,1]

    Possiamo così precisare la definizione di f*

    f*(x)=[0,+oo) →(0,1]

    f*(x)=1/(x^2+1)

    Calcoliamo l'inversa invertendo il ruolo di x e y cioè

    x=1/(y^2+1)

    e ricavando la y

    y^2+1=1/x

    y^2=1/x-1

    y=√(1/x-1)

  • 4 anni fa

    y=sqrt[(1-x)/x]

  • exProf
    Lv 7
    4 anni fa

    NON ESISTE.

    Il doppio segno obbligatorio davanti alla radice quadrata dice che ogni valore della variabile indipendente ne genera due di quella dipendente.

    Questo contraddice la definizione di funzione.

    Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

    v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-...

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  • Matteo
    Lv 7
    4 anni fa

    y=(x^2+1)

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