Esercizio spazio vettoriale?

Salve a tutti ragazzi, chiedo il vostro aiuto per un esercizio di geometria e algebra che non so se ho svolto bene.

Mi si da uno spazio vettoriale H={A appartenente all'insieme delle matrici M2x3 : A•{(1, 1);(0-1);(-1,1)}={(0,0);(0,0)} e ho indicato tra le parentesi tonde le righe Delle matrici.

Mi si chiede di determinare una base è una dimensione.

Ho preso una matrice A generica di righe {(a,b,c);(d,e,f)} e ho trovato la matrice finale {(a-c, a-b+c);(d-f,d-e+f)}

Poi dovrei semplicemente mettere in evidenza i vari parametri e mi trovo la base è la dimensione.

Giusto?

Grazie a chi mi aiuterà ;)

3 risposte

Classificazione
  • 4 anni fa
    Risposta preferita

    "e ho trovato la matrice finale {(a-c, a-b+c);(d-f,d-e+f)} "

    Cioè

    (a-c....a-b+c)=(0...0)

    (d-f.....d-e+f) (0..0)

    per cui

    i) a-c=0 ⇒ c=a

    ii)2a-b=0 ⇒ b=2a

    iii) d-f=0 ⇒ f=d

    ii) 2d-e=0 ⇒ e=2d

    per cui le matrici appartenente all'insieme A sono del tipo

    (a...2a...a)

    (d...2d...d)

    Tali matrici sono generate dalla combinazione lineare delle due matrici

    (1...2...1)

    (0...0...0) ≝ α

    e

    (0...0...0)

    (1...2...1) ≝ β

    Che le due matrici costituiscono un insieme di generatori per A è evidente infatti

    a*α+d*β ci da la generica matrice A.

    Per essere una base dobbiamo dimostrare che le due matrici sono linearmente indipendenti.

    Prendiamo

    x*α+y*β=(0...0...0)

    ..............(0...0...0)

    dimostriamo che l'unica soluzione è x=0 ∧ y=0

    x*1=0 ⇒ x=0 Inutile proseguire con gli altri due casi

    y*1=0 ⇒ y=0 Inutile proseguire con gli altri due casi

    Un insieme di generatori linearmente indipendenti sono una base e il loro numero ci da la dimensione.

    A=L(α,β)

    dimA=2

  • 4 anni fa

    Allora, h1h2h3h4h5 (1) kl 1-1=0. Poi apri la graffa e la chiudi domani

  • 4 anni fa

    +2

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