Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeIngegneria · 3 anni fa

Esercizio elettrotecnica?

Circuito dinamico, chi lo sa risolvere? 10 punti

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2 risposte

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  • 3 anni fa
    Risposta preferita

    Si può seguire l'evoluzione del circuito nel dominio del tempo ( nei tre intervalli t <0, 0 <= t <= T, t >= T )

    ed applicando direttamente le leggi di Kirchoff unitamente alla continuità delle variabili di stato. La rete é del primo ordine, ci aspettiamo quindi un andamento aperiodico.

    Per t < 0, essendo il circuito a regime e l'interruttore aperto, non circola corrente ed il condensatore é scarico;

    da qui la condizione iniziale vc(0+) = vc(0-) = 0

    Per 0 <= t <= T le leggi di Kirchoff si scrivono

    E = R1 i1 + vc

    i1 = i2 + ic

    R2 i2 = vc

    ic = C dvc/dt

    da cui successivamente

    i2 = vc/R2

    i1 = vc/R2 + C dvc/dt

    R1 ( C dvc/dt + vc/R2 ) + vc = E

    R1 C dvc/dt + ( 1 + R1/R2 ) vc = E

    per l'omogenea associata

    dvc/dt = -(1 + R1/R2) * vc/(R1C)

    dvc/vc = -1/(R1C) * (1 + R1/R2) dt

    vc = K e^( -t/(R1C) * (1 + R1/R2) ) + vco(t)

    in cui la soluzione particolare é data dal partitore di tensione

    vco(t) = E R2/(R1+R2)

    perché il condensatore é a regime permanente un circuito aperto.

    Pertanto applicando la vc(0+) = 0 a

    vc(t) = K e^( -t/(R1C) * (1 + R1/R2) ) + E R2/(R1+R2)

    si ha 0 = K + E R2/(R1+R2) => K = - E R2/(R1+R2)

    vc(t) = E R2/(R1+R2) [ 1 - e^( -t/(R1C) * (1 + R1/R2) ] * ( 1(t) - 1( t - T ) )

    essendo questo andamento valido fra 0 e T

    per t = T+ vc(T) = E R2/(R1+R2) [ 1 - e^( -T/(R1C) * (1 + R1/R2) ]

    che é calcolabile numericamente in base ai dati del problema.

    Infine per t >= T le leggi di Kirchoff diventano

    i1 = 0 ( interruttore aperto )

    i2 + ic = 0

    R2 i2 = vc

    da cui i2 = -ic = -C dvc/dt

    e quindi

    - R2 C dvc/dt = vc

    dvc/dt = - vc/(R2C)

    vc(t') = k' e^(-t'/(R2C))

    e infine

    vc(t) = vc(T) * e^(-(t-T)/(R2C))* 1(t-T)

    Concludendo vc(t) = E R2/(R1+R2) [ 1 - e^( -t/(R1C) * (1 + R1/R2) ] * ( 1(t) - 1( t - T ) ) + vc(T) * e^(-(t-T)/(R2C))* 1(t-T)

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    • Yaya
      Lv 7
      3 anni faSegnala

      per vco Eurister ha usato la soluzione per t -->oo valida per l'eq diff. e che si verificherebbe se non si aprisse l'interruttore.

      altro metodo è quello con sostituzione di variabile inglobando il forzamento costante E che ho usato nella FONTE del mio link

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  • 3 anni fa

    T < 0 in fisica non esiste.

    1)

    Per t = 0 l'interruttore è aperto dunque

    Vc = 0 .

    2)

    Per t > 0 , R2 viene bypassato; dunque abbiamo:

    Vc = 10 [1 - esp^-t/(40 0,000005)]

    t appartenente ]0,2].

    https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20...

    https://www.dropbox.com/s/gzo1osgby6btvs1/Scan_201...

    • Leonardo1
      Lv 7
      3 anni faSegnala

      In questo caso nel grafico E = 10.

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