JJJ ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 3 anni fa

esercizio fisica 2?

sapreste risolvere questo esercizio?

in un cilindro isolante di costante dielettrica εr=2 e raggio R=1cm viene depositata una carica con densità ρ=kr con r distanza dall'asse e k=2 mC/m^4.

Calcolare la differenza di potenziale fra due punti, uno sull'asse del cilindro e l'altro sulla sua superficie

3 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    3 anni fa
    Risposta preferita

    posto

    L = altezza del cilindro

    applicando il teorema di Gauss si ottiene

    E(r) 2 π r L = q(r) / (εo εr)

    da cui

    E(r) = q(r) / (2 π εo εr r L)

    dove

    q(r) = ∫ ρ(r) dV = ∫ k r 2 π r L dr = k 2 π L ∫ r^2 dr

    integrando tra 0 ed r si ottiene q(r)

    q(r) = 2/3 k π L r^3

    quindi

    E(r) = E(r) = k r^2 / (3 εo εr)

    la differenza di potenziale e`

    ΔV = ∫ E(r) dr tra 0 e R

    ΔV = ∫ [k r^2 / (3 εo εr)] dr = k / (3 εo εr) ∫ r^2 dr

    integrando tra 0 ed R si ottiene ΔV

    ΔV = k R^3 / (9 εo εr) = 2*10^-3 / (9*8,85x10^-12*2) ~ 12,55 V

  • exProf
    Lv 7
    3 anni fa

    Sì, saprei.

  • 3 anni fa

    Ipotizzo che il cilindro abbia raggio piccolo rispetto all’altezza h, in modo da poterlo considerare infinito. Assumo k = 2 mC/m^3

    Il teorema di Gauss applicato a un cilindretto coassiale col dato e di raggio x <= R fornisce:

    φ(Ε(x)) = Q(x)/ε

    dove Q(x) è la carica contenuta nel cilindretto.

    Se h è l’altezza del cilindretto, per evidenti ragioni di simmetria potremo scrivere:

    Φ(E(x)) = 2πxhE(x)

    E(x) = Q(x)/(2πxhε)

    Q(x) = ∫tra 0 e x 2πxhρdx = 2πhk∫tra 0 e x x^2dx = (2/3)πhkx^3

    E(x) = kx^2/3ε

    ΔV = ∫tra 0 e R E(x)dx = kR^3/9ε = 2*10^-3*10^-6/(9*2*8,85*10^-12) = 12,55 V

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