esercizio fisica 2?

Question

sapreste risolvere questo esercizio?

in un cilindro isolante di costante dielettrica εr=2 e raggio R=1cm viene depositata una carica con densità ρ=kr con r distanza dall'asse e k=2 mC/m^4.

Calcolare la differenza di potenziale fra due punti, uno sull'asse del cilindro e l'altro sulla sua superficie

Answer 1

Risposta preferita

posto

L = altezza del cilindro

applicando il teorema di Gauss si ottiene

E(r) 2 π r L = q(r) / (εo εr)

da cui

E(r) = q(r) / (2 π εo εr r L)

dove

q(r) = ∫ ρ(r) dV = ∫ k r 2 π r L dr = k 2 π L ∫ r^2 dr

integrando tra 0 ed r si ottiene q(r)

q(r) = 2/3 k π L r^3

quindi

E(r) = E(r) = k r^2 / (3 εo εr)

la differenza di potenziale e`

ΔV = ∫ E(r) dr tra 0 e R

ΔV = ∫ [k r^2 / (3 εo εr)] dr = k / (3 εo εr) ∫ r^2 dr

integrando tra 0 ed R si ottiene ΔV

ΔV = k R^3 / (9 εo εr) = 2*10^-3 / (9*8,85x10^-12*2) ~ 12,55 V

Answer 2

Sì, saprei.

Answer 3

Ipotizzo che il cilindro abbia raggio piccolo rispetto all’altezza h, in modo da poterlo considerare infinito. Assumo k = 2 mC/m^3

Il teorema di Gauss applicato a un cilindretto coassiale col dato e di raggio x <= R fornisce:

φ(Ε(x)) = Q(x)/ε

dove Q(x) è la carica contenuta nel cilindretto.

Se h è l’altezza del cilindretto, per evidenti ragioni di simmetria potremo scrivere:

Φ(E(x)) = 2πxhE(x)

E(x) = Q(x)/(2πxhε)

Q(x) = ∫tra 0 e x 2πxhρdx = 2πhk∫tra 0 e x x^2dx = (2/3)πhkx^3

E(x) = kx^2/3ε

ΔV = ∫tra 0 e R E(x)dx = kR^3/9ε = 2*10^-3*10^-6/(9*2*8,85*10^-12) = 12,55 V