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Ciao data la funzione (x^5)/5 -(x^3)/3 +1 in quanti punti la funzione interseca i grafico?

Aggiornamento:

Se ve n’`e almeno uno, per ciascun punto di intersezione con l’asse x indicare qua

sotto l’intervallo del tipo [n, n + 1], con n ∈ Z, che ne contiene l’ascissa:

ecco quest'ultima parte non ho idea di come si faccia...vi ringrazio in anticipo per la risposta:)

2 risposte

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    1 anno fa
    Risposta preferita

    "quest'ultima parte" è la "separazione degli zeri" che, con la specificazione "n ∈ Z", diventa la richiesta di trovare i due interi consecutivi a cavallo di ciascuna radice reale dell'equazione

    * x^5/5 - x^3/3 + 1 = 0 ≡

    ≡ p(x) = x^5 - (5/3)*x^3 + 5 = 0 ≡

    ≡ p(x) = (x - r)*(x^4 + a*x^3 + b*x^2 + c*x + d) = 0

    Poiché l'equazione è di grado dispari a coefficienti reali deve avere un numero dispari di radici reali (almeno una, r) che, essendo il grado maggiore di quattro, non si possono esprimere per radicali applicando un algoritmo similmente a quelle delle equazioni dei gradi inferiori.

    Si devono usare espedienti e poi, in ogni caso, ricorrere a metodi grafico-numerici.

    Il calcolo numerico si fa raffinando uno zero di p(x), isolato nell'intervallo [a, b], con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel, cercando il valore che annulla l'espressione p(x), innescando opportunamente il calcolo (p.es. col valore x = (a + b)/2).

    Per isolare uno zero di p(x) basta qualche valutazione (se del caso, in Excel).

    ------------------------------

    Poiché p(x) è mònico con coefficienti razionali se ha zeri razionali essi sono fra i divisori d del termine noto

    * D = {d} = {- 5, - 1, 1, 5}

    Le quattro valutazioni {x, p(x)} per x in D sono

    * {x, p(x)} in {{- 5, - 8735/3}, {- 1, 17/3}, {1, 13/3}, {5, 8765/3}}

    che mostra l'assenza di zeri razionali, ma anche un'inversione fra - 5 e - 1.

    ------------------------------

    Per ridurre l'intervallo di separazione (- 5, - 1) ad ampiezza unitaria bastano le tre valutazioni intermedie

    * {{- 5, - 8735/3}, {- 4, - 2737/3}, {- 3, - 193}, {- 2, - 41/3}, {- 1, 17/3}}

    e si stabilisce che la radice reale r è separata in (- 2, - 1) come richiesto.

    ------------------------------

    Il calcolo numerico fornisce, con dodici cifre significative, l'approssimazione

    * r ~= - 1.66078027484

    da cui

    * p(x) = x^5 - (5/3)*x^3 + 5 =

    = (x - r)*(x^4 + a*x^3 + b*x^2 + c*x + d) ~=

    = ~(x + 1.66078027484)*(x^4 - 1.66078027484*x^3 + 1.09152445463*x^2 - 1.8127822838*x + 3.0106330594)

    ------------------------------

    Poiché

    * q(x) = x^4 - 1.66078027484*x^3 + 1.09152445463*x^2 - 1.8127822838*x + 3.0106330594

    ha un minimo positivo

    * q(~ 1.11965) ~= 1.58977 > 0

    si può dare risposta al primo quesito

    IL GRAFICO DELLA FUNZIONE INTERSECA L'ASSE x SOLO IN x = r ~= - 1.66078027484

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  • 1 anno fa

    " in quanti punti la funzione interseca i grafico " non significa niente

    Forse vuoi dire

    "in quanti punti la funzione y=f(x) = x^5/5 - x^3/3 + 1 interseca l'asse x, e se ve ne è almeno uno, per ciascun punto di intersezione con l’asse x indicare l’intervallo del tipo [n, n + 1], con n ∈ Z, che ne contiene l’ascissa".

    Se è giusto quanto ritradotto dalla tua domanda:

    • Eventuali Intersezioni di f(x) con l' asse x sono dati dalla risoluzione del seguente sistema

    { y = x^5/5 - x^3/3 + 1

    { y = 0

    Ossia dalla risoluzione di

    x^5/5 - x^3/3 + 1 = 0, che ha 1 radice reale e 4 complesse.

    La risoluzione in |R del polinomio di cui sopra non è banale, in Il teorema di Galois afferma che non tutte le equazioni di grado superiore al quarto sono risolubili per radicali.

    Ti consiglio di svolgere la risoluzione mediante metodi come

    1) Metodo della bisezione o di dicotomia

    2) Metodo delle tangenti o di Newton-Raphson

    Che ad ogni iterazione, ti permettono di avvinarti sempre di più al valore dell'unica radice reale del polinomio che è: x ≈ -1.66078

    Dunque ciò fatto, l’intervallo del tipo [n, n + 1], con n ∈ Z, che ne contiene l’ascissa è [-2,-1] perché sia -1 che -2 ∈ Z e la soluzione x ≈ -1.66078 cade proprio in questo intervallo

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