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Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 anno fa

Vi prego mi servono tutti i passaggi di quest’esercizio sull’iperbole aiuto sono disperato?

Determina per quali valori di k l’equazione x^2 / 3k + 1 - y^2 / 9-k^2 =1

Rappresenta

a) un’iperbole

b) un’iperbole equilatera

c) un’iperbole con fuochi sull’asse x

d) un’ellisse

Posto k= 1 rappresenta la curva che si ottiene, individuando le sue principali caratteristiche.

1 risposta

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    1 anno fa
    Risposta preferita

    AGGIUNGO IO LE PARENTESI RIMASTE NELLA TASTIERA.

    L'equazione parametrica in k

    * Γ(k) ≡ x^2/(3*k + 1) - y^2/(9 - k^2) = 1

    ha la forma

    * (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1

    tipica delle coniche a centro non degeneri centrate nell'origine e con gli assi di simmetria sugli assi coordinati. I semiassi (a, b) sono due valori positivi.

    Il tipo di conica dipende dai segni dei denominatori parametrici.

    ==============================

    A) (3*k + 1 < 0) & (9 - k^2 < 0) ≡ k < - 3

    * Γ(k) ≡ x^2/(1 - 3*k) - y^2/(k^2 - 9) = - 1 ≡

    ≡ iperbole con fuochi sull'asse y

    ------------------------------

    B) (3*k + 1 < 0) & (9 - k^2 > 0) ≡ - 3 < k < - 1/3

    * Γ(k) ≡ x^2/(1 - 3*k) - y^2/(9 - k^2) = - 1 ≡

    ≡ iperbole con fuochi sull'asse y

    ------------------------------

    C) (3*k + 1 > 0) & (9 - k^2 > 0) ≡ - 1/3 < k < 3

    * Γ(k) ≡ x^2/(3*k + 1) - y^2/(9 - k^2) = 1 ≡

    ≡ iperbole con fuochi sull'asse x

    ------------------------------

    D) (3*k + 1 > 0) & (9 - k^2 < 0) ≡ k > 3

    * Γ(k) ≡ x^2/(3*k + 1) + y^2/(k^2 - 9) = 1 ≡

    ≡ ellisse

    ==============================

    RISPOSTE AI QUESITI

    ------------------------------

    Γ(k) rappresenta

    a) un'iperbole per: (k < 3) & (k != - 3) & (k != - 1/3)

    b) un'iperbole equilatera per:

    * (k < 3) & (k != - 3) & (k != - 1/3) & (|(1 - 3*k)| = |(9 - k^2)|) ≡

    ≡ (k = - 5) oppure (k = (3 - √41)/2 ~= - 1.7) oppure (k = 2)

    c) un'iperbole con fuochi sull'asse x per: - 1/3 < k < 3

    d) un'ellisse per: k > 3

    ------------------------------

    * Γ(1) ≡ x^2/(3*1 + 1) - y^2/(9 - 1^2) = 1 ≡

    ≡ x^2/4 - y^2/8 = 1 ≡

    ≡ (x/2)^2 - (y/(2*√2))^2 = 1

    è un'iperbole con

    * semiassi (a, b) = (2, 2*√2)

    * semidistanza focale c = √(a^2 + b^2) = 2*√3

    * fuochi sull'asse x: F(± 2*√3, 0)

    * vertici sull'asse x: V(± 2, 0)

    * eccentricità e = c/a = √3

    * asintoti y = ± (b/a)*x ≡ y = ± (√2)*x

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