Nick ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 anno fa

ALGEBRA LINEARE. NON HO CAPITO UNA COSA:?

Le soluzioni dell'esercizio dice:

" Osserviamo che dimA=2 e che A = { (x,y,z) ∈ R^3 : x + y + z = 0 }.

Inoltre per definizione di nucleo di un'applicazione lineare, si ha

B={ (x,y,z) ∈ R^3 : 3x + 5y + 2z = 0 } = Span {(2 0 -3) , (0 2 5 ) } "

Per quanto riguarda la prima parte di A mi torna perchè se svolgi il sistema composto da {(-1,0,1),(-1,1,0)}

se poi raccogli la z torna z(1,1,1) e quindi x + y + z=0.

Il problema è che non mi riesce fare il procedimento inverso da Span a applicazione lineare.

3x + 5y + 2z = 0 come fa a diventare lo span di {(2 0 -3) , (0 2 5 ) }.

Qualcuno me lo sa spiegare? Scusate la stupidità della domanda.

Grazie

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2 risposte

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  • 1 anno fa
    Risposta preferita

    L'equazione

    3x+5y+2z=0

    è un'equazione con tre incognite. In particolare notiamo:

    n° 1 pivot

    n° 2 variabili libere.

    Scegliamo come variabili libere la x e la y (di solito si usano la y e la z, ma nulla osta fare scelte diverse).

    Calcoliamo i vettori della base assegnando ad una variabile libera 1 e ponendo le altre a 0.

    i) x=1 & y=0 l'equazione diventa

    3+2z=0

    z=-3/2

    Un vettore della base è così (1,0,-3/2)

    Razionalizziamolo moltiplicandolo per 2 avremo

    v=(2,0,-3)

    Analogamente per l'altro

    ii) Poniamo x=0 e y=1

    5+2z=0

    z=-5/2

    il vettore sarà (0,1,-5/2) che razionalizzato si scriverà (0,2,-5)

    w=(0,2,-5)

    Soluzione che coincide con quanto hai scritto a meno di un meno. (- che è rimasto nella tastiera)

    NB. Nel caso avessimo scelto come variabili libere la x e la y avremmo trovato una base costituita da due diversi vettori ma il loro span avrebbe comunque generato lo stesso sotto-spazio vettoriale.

  • 1 anno fa

    Grazie mille! Solo che non mi torna il secondo pezzo:

    3x + 5y + 2z = 0 ----> x = -5y/3 - 2z/3 ----> [-5y/3 - 2z/3 ; y ; z] = y [-5y/3 ; 1 ; 0] + z [- 2z/3 ; 0 ; 1]

    ora moltiplico per 3 e torna [-5 ; 3 ; 0] e [ 2 ; 0 ; -3]

    Mi sapresti dire dove sbaglio? Grazie ancora per l'attenzione!

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