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Disequazioni logaritmiche. Basterebbe anche solo l impostazione iniziale.. Non so come trasformare i quadrati iniziali e x^1/2 della seconda?

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1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    10 mesi fa
    Risposta preferita

    I)

    CONDIZIONE D'ESISTENZA: x > 0.

    DISEQUAZIONE:

    [log_2 (x^2)]^2 - 7 * log_2 (x) ≤ 2 <=== Nota: log_2 (x^2) = 2 * log_2 (x).

    [2 * log_2 (x)]^2 - 7 * log_2 (x) ≤ 2.

    A questo punto, si pone: log_2 (x) = t.

    Da cui:

    [2 t]^2 - 7t ≤ 2.

    4t^2 - 7t ≤ 2 <=== Si sottrae 2 da entrambi i membri.

    4t^2 - 7t - 2 ≤ 0.

    Determiniamo le radici con la formula quadratica:

    t = [7 ± √(49 + 32)]/8 = [7 ± √81]/8 = [7 ± 9]/8.

    Ne consegue che:

    O: t = [7 - 9]/8 = -2/8 = -1/4 ==> Torniamo alla variabile originaria ==> log_2 (x) = -1/4 ==>

    ==> log_2 (x) = log_2 [2^(-1/4)] ==> x = 2^(-14) = 1/2^(1/4) (Accettabile secondo la condizione d'esistenza).

    Oppure: t = [7 + 9]/8 = 16/8 = 2 ==> Torniamo alla variabile originaria ==> log_2 (x) = 2 ==>

    ==> log_2 (x) = log_2 [2^(2)] ==> x = 2^2 = 4 (Accettabile secondo la condizione d'esistenza).

    Ne consegue che:

    INTERVALLO DELLE SOLUZIONI:

    1/2^(1/4) ≤ x ≤ 4.

    Nota: "1/2^(1/4)" si legge "Uno fratto radice quarta di due." Purtroppo mi risulta difficile digitare la radice quarta sulla tastiera.

    II)

    CONDIZIONE D'ESISTENZA:

    x > 0.

    DISEQUAZIONE:

    [log_2 (x)]^2 - 8 ≥ 4 * log_2 (√x) <=== Nota: √x = x^(1/2).

    [log_2 (x)]^2 - 8 ≥ 4 * log_2 [x^(1/2)] <=== Nota: log_2 [x^(1/2)] = 1/2 * log_2 (x).

    [log_2 (x)]^2 - 8 ≥ 4 * 1/2 * log_2 (x).

    [log_2 (x)]^2 - 8 ≥ 2 * log_2 (x).

    Poniamo: log_2 (x) = t.

    Da cui:

    t^2 - 8 ≥ 2t <=== Sottraiamo 2t da entrambi i membri.

    t^2 - 2t - 8 ≥ 0.

    Fattorizzabile come:

    (t - 4) * (t + 2) ≥ 0.

    Le cui radici sono:

    O: t = 4 ===> Torniamo alla variabile originaria ===> log_2 (x) = 4 ===> log_2 (x) = log_2 (2^4) ===>

    ===> x = 2^4 = 16 (Accettabile secondo la condizione d'esistenza).

    Oppure: t = -2 ===> Torniamo alla variabile originaria ===> log_2 (x) = log_2 [2^(-2)] ===>

    ===> x = 2^(-2) = 1/2^2 = 1/4 (Accettabile secondo la condizione d'esistenza).

    DISCUSSIONE SUGLI INTERVALLI DELLE SOLUZIONI:

    Primo intervallo: x ≤ 1/4.

    Secondo la condizione d'esistenza, x deve essere maggiore di 0. L'intervallo x ≤ 1/4, si riduce pertanto a tutti quei valori di x appartenenti a (0; 1/4] ===> 0 < x ≤ 1/4.

    Secondo intervallo:

    x ≥ 16 (Tutti i valori maggiori o uguali a 16, sono accettabili secondo la condizione d'esistenza).

    INTERVALLO DELLE SOLUZIONI:

    0 < x ≤ 16.

    ... E questo è quanto.

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    • Jeremy
      Lv 6
      10 mesi faSegnala

      C'è un errore alla fine. Ho scritto di fretta senza rendermene conto:

      INTERVALLO DELLE SOLUZIONI:

      0 < x ≤ 1/4; x ≥ 16.

      Correggi, mi raccomando...

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