Marra ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 5 mesi fa

Parabola 10 punti al migliore?

Scritta l'equazione della parabola del tipo y=ax^2+bx+c tangente in A (1;0) alla retta r di coefficiente angolare 2 e passante per B (3;1) determinare sull'arco AB di parabola un punto P in modo che risulti PH+PM = 29/4 essendo PH e PM le distanze di P dall' asse y e dalla retta y+4=0

2 risposte

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    5 mesi fa

    La distanza del punto P(u, v)

    1) dalla retta y = m*x + q è

    * d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)

    2) dalla retta y = k è

    * d(v, k) = |v - k|

    3) dalla retta x = k è

    * d(u, k) = |u - k|

    ==============================

    La distanza del punto P(x, y) dal punto H sull'asse y (x = 0) è

    * |PH| = |x|

    La distanza del punto P(x, y) dal punto M sulla retta y + 4 = 0 (y = - 4) è

    * |PM| = |- 4 - y|

    ---------------

    Il luogo dei punti P che soddisfanno al vincolo

    * |PH| + |PM| = 29/4 ≡

    ≡ |x| + |- 4 - y| = 29/4

    è il perimetro del quadrato con vertici

    * (0, 13/4), (29/4, - 4), (0, - 45/4), (- 29/4, - 4)

    che, nei quadranti definiti dall'incrocio degli pseudoassi x = 0 ed y = - 4, sono le intersezioni con gli pseudoassi delle QUATTRO rette, ottenute dall'eliminare DUE valori assoluti, di tutti e soli i punti nella relazione richiesta

    a) y = - x + 13/4

    b) y = - x - 45/4

    c) y = x - 45/4

    d) y = x + 13/4

    ---------------

    Fra tutti i possibili punti P del luogo sono richiesti solo quelli sulla parabola per

    * 1 <= x <= 3 ("sull'arco AB di parabola")

    ==============================

    La parabola ad asse verticale che passa per B(3, 1) ed è tangente in A(1, 0) alla retta r di pendenza due si trova come segue.

    ------------------------------

    La generica parabola ad asse verticale con

    * apertura "a != 0"

    * vertice V(w, h)

    ha la forma

    * Γ(a, h, w) ≡ y = a*(x - w)^2 + h

    e la pendenza

    * y' = m(x) = 2*a*(x - w)

    ---------------

    Si determinano i tre parametri applicando i vincoli imposti dalle proprietà richieste

    * passaggio per B(3, 1) ≡ 1 = a*(3 - w)^2 + h

    * passaggio per A(1, 0) ≡ 0 = a*(1 - w)^2 + h

    * pendenza in A(1, 0) ≡ m(x) = 2*a*(1 - w) = 2

    e risolvendo il loro sistema

    * (1 = a*(3 - w)^2 + h) & (0 = a*(1 - w)^2 + h) & (2*a*(1 - w) = 2) ≡

    ≡ (a, h, w) = (- 3/4, 4/3, 7/3)

    da cui

    * Γ ≡ y = (- 3/4)*(x - 7/3)^2 + 4/3 ≡ y = - (3/4)*(x - 1)*(x - 11/3)

    ==============================

    E, FINALMENTE, LE INTERSEZIONI!

    ------------------------------

    a) (y = - (3/4)*(x - 1)*(x - 11/3)) & (y = - x + 13/4) & (1 <= x <= 3) ≡ (2, 5/4)

    b) (y = - (3/4)*(x - 1)*(x - 11/3)) & (y = - x - 45/4) & (1 <= x <= 3) ≡ (insieme vuoto)

    c) (y = - (3/4)*(x - 1)*(x - 11/3)) & (y = x - 45/4) & (1 <= x <= 3) ≡ (insieme vuoto)

    d) (y = - (3/4)*(x - 1)*(x - 11/3)) & (y = x + 13/4) & (1 <= x <= 3) ≡ (insieme vuoto)

    da cui l'unico

    * P(2, 5/4)

    CONTROPROVA ai link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-(3%2F...

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-(3%2F...

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  • Sergio
    Lv 5
    5 mesi fa

    Bene... siamo al 3° tentativo...

    Con ragionamenti analoghi ai precedenti si trova la parabola

    y = - (3/4) x^2 + (7/2) x - 11/4 = 0

    Preso un punto generico x condizione 1 <= x <= 3

    La distanza dall'asse y vale proprio x

    La dist da y = -4 vale invece ... - (3/4) x2 + (7/2) x - 11/4 + 4

    Imponendo la condizione richiesta

    x + [ - (3/4) x2 + (7/2) x - 11/4 + 4] = 29/4

    Semplificando... si arriva alla equazione x^2 - 6x + 8 = 0

    Che ha come soluzioni 2 et 4... solo x = 2 è accettabile...

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