Red ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 6 mesi fa

Aiuto studio funzione ? Controllare?

f(x)= |(log(x+2))/(x+2))|

Il dominio per me è x>-2

limiti

per x tendente a +infinito tende a 0

Asintoto orizzontale y=0

Per x tendente a -2+ e -2- tende a +infinito

Asintoti verticali y=-2+ e y=-2-

Obliqui non ci sono

Derivata prima

Mi viene

|(log(x+2)|*[(1-log(x+2))/((x+2)*log(x+2))]

Per il dominio escluderei anche -1

La crescenza non riesco a calcolarla ...

punti di non derivabilità non ci sono vero?

Intersezione con l’asse y ( cioè x=0) mi viene y=log2/2

Intersezione con asse delle x, y=0

Quindi |(log(x+2)/(x+2)|=0

Pongo C.E x diverso da -2 e semplifico

Idolo la x

log(x+2)=0

e^0=1=x+2

x=-1

Intersezione in (-1,log2/2)

Sup + infinito

Inf ?? -2 anche se non è compreso nel dominio ?

Massimo/minimo ci sono?

Mi dite per favore gli errori e come si fa correttamente ? Grazie

1 risposta

Classificazione
  • 6 mesi fa
    Migliore risposta

    • "Il dominio per me è x>-2" OK

    • limiti e asintoti

    "per x tendente a +infinito tende a 0" OK

    da aggiungere

    per x tendente a - infinito tende a 0

    "Asintoto orizzontale y=0" OK (*) quindi nessun asintoto obliquo.

    "Per x tendente a -2+ e -2- tende a +infinito" OK

    "Asintoti verticali y=-2+ e y=-2-" No, da sostituire con asintoto verticale x=-2 (cfr. dominio)

    "Obliqui non ci sono" Meglio aggiungere la frase in (*). Tieni presente che un asintoto orizzontale equivale ad un asintoto obliquo con coefficiente angolare m eguale a zero. m=0

    • Derivata prima

    y'= - {[log(x+2)/(x+2)]/|log(x+2)/(x+2)|} * log(x+2)/(x+2)²

    NB. il fattore all'interno della parentesi graffa non è altro che il segno (Sgn) della funzione log(x+2)/(x+2) cioè Sgn(log(x+2)/(x+2)). Tale funzione segno nasce dalla derivata del valore assoluto.

    • "Per il dominio escluderei anche -1"

    La funzione f(x) è definita nel punto x=-1 è la funzione derivata di f(x) che non lo è. In questo caso

    - il dominio rimane invariato

    - si dice che x=-1 è un punto singolare della funzione f(x) (cioè un punto dove la funzione non è derivabile.

    • Per determinare gli intervalli di crescenza/decrescenza occorre studiare a parte il segno della funzione log(x+2)/(x+2) che indicheremo con g(x)

    - Segno g(x)

    g(x) Non definita per x=-1

    Usiamo la griglia dei segni

    -2.........-1......................

    -----------0+++++++++++ log(x+2)

    X+++++++++++++++++ (x+2)

    X--------0+++++++++++ g(x)

    per cui

    g(x)<0 in (-2,-1) in tale intervallo Sgn g(x)= - 1

    g(x)>0 in (-1,+oo) in tale intervallo Sgng(x)=+1

    Passiamo alla crescenza/decrescenza

    ◦ Per x=-1 g(x) non è definita quindi non lo sarà neppure f '(x) (infatti non è derivabile)

    ◦ Nell'intervallo (-2,-1)

    Sgn(g(x))=-1,

    log(x+2)<0

    (x+2)>0 per cui

    f '(x)= - (-1) log(x+2)/(x+2) è negativa cioè la funzione li decresce.

    ◦ Nell'intervallo (-1,+oo)

    Sgn(g(x))=+1,

    log(x+2)>0

    (x+2)>0 per cui

    f '(x)= - (+1) log(x+2)/(x+2) è positiva cioè la funzione li cresce.

    "punti di non derivabilità non ci sono vero?" Abbiamo già visto che x=1 è un punto singolare quindi lì non è derivabile.

    Per dimostrare che non è derivabile è sufficiente calcolare la derivata destra e la derivata sinistra per x=-1 e verificare che sono diverse.

    In generale la presenza del valore assoluto può generali punti singolari, come in questo caso.

    "Intersezione con l’asse y ( cioè x=0) mi viene y=log2/2" OK.

    "Intersezione con asse delle x" x=-1 OK.

    "Intersezione in (-1,log2/2)" Vero ma di solito non si scrive così ma

    intersezione asse delle ascisse P(-1,0)

    intersezione asse delle ordinate Q(0,log(2)/2)

    "Sup + infinito" segue dal limite per x→-2 che Sup f(x)=+oo per cui la funzione non ammette massimo assoluto

    "Inf ?? -2 anche se non è compreso nel dominio ?" Non proprio

    Inf f(x)=0 che è anche minimo assoluto nel punto x=-1 quindi

    Inf(f(x))=min f(x)=f(-1)=0

    "Massimo/minimo ci sono?"

    Il minimo assoluto lo abbiamo già calcolato

    Il massimo assoluto abbiamo dimostrato che non c'è.

    Dallo studio della crescenza/decrescenza segue che non vi sono punti stazionari quindi nessun massimo/minimo relativi, a meno che non si voglia considerare minimo relativo x=-1.

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    • cmcsafe
      Lv 7
      6 mesi faSegnala

      Nel caso venga richiesto solamente di disegnare il grafico di |f(x)|
      puoi disegnare il grafico di f(x) senza valore assoluto per poi ribaltare la parte negativa sul semipiano positivo delle y. (simmetria rispetto all'asse delle x)

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