problema su fascio di rette?

Aggiornamento:

due rette incidenti hanno  equazione 

x meno 2y più 4 = 0

2x più y più 2 = 0 

formano un fascio di rette proprio

trova le equazioni del fascio che incontrano gli assi nei punti A e B in modo che il segmento AB abbia la lunghezza di 4

1 risposta

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    1 mese fa

    AVRESTI DOVUTO COPIARE PAROLA PER PAROLA.

    Con le contorsioni verbali che hai scritto sono costretto a interpretare il tuo non-testo.

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    Definire il fascio che ha per generatrici le rette

    * r ≡ x - 2*y + 4 = 0

    * s ≡ 2*x + y + 2 = 0

    e poi determinare quali delle sue rette intersecano gli assi coordinati in due punti (A, B) tali che |AB| = 4.

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    A) L'intersezione delle due perpendicolari date

    * r & s ≡ (x - 2*y + 4 = 0) & (2*x + y + 2 = 0) ≡ C(- 8/5, 6/5)

    è il centro C di un fascio proprio.

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    B) Per il punto C(- 8/5, 6/5) passano tutte e sole le seguenti rette:

    B1) x = - 8/5, parallela all'asse y;

    B2) y = k*(x + 8/5) + 6/5

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    C) La retta B1 non può intersecare l'asse y, quindi la ricerca si limita entro le rette B2

    * y = k*(x + 8/5) + 6/5

    che intersecano gli assi in

    * A(0, (2/5)*(4*k + 3))

    * B(- (2/5)*(4*k + 3)/k, 0)

    la cui distanza (al quadrato) è

    * |AB|^2 = f(k) = (2/5)*((k^2 + 1)*(4*k + 3)^2/k^2)

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    D) |AB| = 4 ≡

    ≡ √((2/5)*((k^2 + 1)*(4*k + 3)^2/k^2)) = 4 ≡

    ≡ (2/5)*((k^2 + 1)*(4*k + 3)^2/k^2) = 16 ≡

    ≡ (2/5)*((k^2 + 1)*(4*k + 3)^2/k^2) - 16 = 0 ≡

    ≡ (k != 0) & (k^4 + (3/2)*k^3 - (15/16)*k^2 + (3/2)*k + 9/16 = 0)

    ATTENZIONE!!!

    LA MIA INTERPRETAZIONE DEV'ESSERE SBAGLIATA: non possono averti assegnato un problema di quarto grado irriducibile nei razionali!

    INFATTI

    Con

    * p(k) = k^4 + (3/2)*k^3 - (15/16)*k^2 + (3/2)*k + 9/16 = (k*(k*(8*k*(2*k + 3) - 15) + 24) + 9)/16

    le valutazioni {k, p(k)} suitrenta  potenziali zeri razionali

    ---------------

    {{-9, 43029/8}, {-9/2, 15885/64}, {-3, 225/8}, {-9/4, 63/64}, {-3/2, -243/64}, {-9/8, -11655/4096}, {-1, -19/8}, {-3/4, -45/32}, {-9/16, -48807/65536}, {-1/2, -35/64}, {-3/8, -783/4096}, {-1/4, 7/64}, {-3/16, 15705/65536}, {-1/8, 1465/4096}, {-1/16, 30457/65536}}

    ---------------

    {{1/16, 42793/65536}, {1/8, 3025/4096}, {3/16, 53865/65536}, {1/4, 29/32}, {3/8, 4473/4096}, {1/2, 85/64}, {9/16, 96777/65536}, {3/4, 135/64}, {1, 29/8}, {9/8, 19665/4096}, {3/2, 693/64}, {9/4, 1341/32}, {3, 945/8}, {9/2, 34245/64}, {9, 60741/8}}

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    D1) non mostrano nessuna radice razionale dell'equazione p(k) = 0;

    D2) ma ìsolano due radici reali con le inversioni [{-9/4, 63/64}, {-3/2, -243/64}] e [{-3/8, -783/4096}, {-1/4, 7/64}]

    * - 9/4 < K1 < - 3/2

    * - 3/8 < K2 < - 1/4

    D3) con metodi numerici si càlcolano le approssimazioni

    * K1 ~= - 2.18807

    * K2 ~= - 0.298186

    da cui le due rette B2

    * y = (- 2.18807)*(x + 8/5) + 6/5

    * y = (- 0.298186)*(x + 8/5) + 6/5

    ---------------

    Vedi

    * il grafico e il paragrafo "Solutions" al link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2C...

    * il grafico completo al link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2C...

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    E) Se decidi di pubblicare il testo originale, poi màndami il link alla domanda (NON IL TESTO): la mia e-mail è aperta.

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