potenziale di configurazione?

Question

qualcuno può darmi una mano con questo testo?

Answer 1

un percorso corretto può essere quello di valutare il campo elettrico E(r) della sola Qo e quello totale Etot (r) con il guscio.

Poi calcolare nei due casi l'energia elettrostatica con la formula seguente:

U = 1/2 *eps0* integrale (esteso a tutto lo spazio ) E² dv =1/2 *eps0* integrale (per r da 0 a infinito ) E²(r) *4pi*r² dr

Utot =  1/2 *eps0* integrale (esteso a tutto lo spazio ) Etot² dv =1/2 *eps0* integrale (per r da 0 a infinito ) Etot²(r) *4pi*r² dr

la differenza dei valori ottenuti di  L = Utot - U rappresenta il lavoro richiesto!!!

L =1/2 *eps0* integrale (per r da 0 a infinito ) (Etot²(r) -E²(r)) 4pi*r² dr

 proverò se ho tempo a svolgertelo in dettaglio

per intanto...

E(r) = k*Qo / r²

Etot(r) = E(r) ....per 0<r<r1

Etot(r) = E(r) + k*Q'(r) /r² .... per r1<r<r2 dove Q'(r) = integrale (tra r1 e r)a*x²*4pi*x²dx = 4/5 π a (r^5 - r1^5)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28...

Etot(r) = E(r) + k*Q'(r2) /r² .... per r2<r< oo

... eventuale problema ...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28...

 ..... cioè U non è determinabile  

però possiamo osservare che detto U' l'integrale da 0 ad r1, non sommabile***, sarà ancora vero ...

L = Utot - U =  (Utot - U') - (U-U')

e quindi scrivere:

L =1/2 *eps0* integrale (per r da r1 a infinito ) (Etot²(r) -E²(r)) 4pi*r² dr

..... vediamo ...

Etot²(r) -E²(r) = -E²(r)....per 0<r<r1 non sommabile ... che eliminiamo

Etot²(r) -E²(r) = (E(r) + k*Q'(r) /r²)²- E²(r) = E²(r) + 2k*Q'(r)*E(r) /r² +(k*Q'(r) /r²)²- E²(r) = 2k*Q'(r)*E(r) /r² +(k*Q'(r) /r²)² .... per r1<r<r2

Etot²(r) -E²(r) = (E(r) + k*Q'(r2) /r² )² - E²(r) = E²(r) + 2k*Q'(r2)*E(r) /r² +(k*Q'(r2) /r²)²- E²(r) = 2k*Q'(r2)*E(r) /r² +(k*Q'(r2) /r²)² .... per r2 < r < oo

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%28...

.... sommando ottieni L ... salvo sviste

nota***

non sommabile "nell'ipotesi della traccia di carica PUNTIFORME!"

--------------------------- dubbio sulla traccia

Intanto la traccia dice che la densità è funzione solo di r ... significa che è la stessa a distanza r da O!

cioè avrei che nello strato dr la carica dq vale :

dq = a*r²*dr { ... qui ar² avrebbe le dimensioni di coulomb /m e non sarebbe volumetrica!}

ed il volume dello strato dv vale:

dv = 4*pi*r²*dr

se faccio il rapporto:

dq/dv = a*r²*dr /(4*pi*r²*dr ) = a /(4*pi ) che è costante !?

oppure a*r² è veramente "volumetrica" {cioè sono coulomb /m³}

quindi la dq nello strato di altezza dr vale veramente

dq = a*r²*dv = a*r²*4*pi*r²*dr = 4pi*a*r^4dr ..... .... ???

qual è la giusta interpretazione? -- {hai i risultati?}