Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 sett fa

Esercizi di geometria per ingegneria!?

Dovrei fare questi due esercizi che non riesco a svolgere, potreste aiutarmi per favore? Essendo chiari sul procedimento possibilmente

1-Scrivere una base del sottospazio S={(x,y,z,t):x+y=x+2z-t=0}

2-Stabilire al variare del parametro reale k, la dimensione del sottospazio generato dai vettori v1=(k,2k,0,k) , v2=(2k+1,k+2,0,1) , v3=(1,k+2,-k,1) e v4=(k-4,0,0,k)

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    1. Poniamo le due equazioni che caratterizzano S in un sistema

    {x+y=0

    {x+2z-t=0

    Abbiamo 2 equazioni e 4 incognite, x,y,z,t.

    Osservando le equazioni possiamo dire che si hanno due variabili libere. (Le famose incognite che diventano parametri quando si frequentava il liceo)

    Vediamo il procedimento da seguire per arrivare a questa conclusione.

    La matrice A dei coefficienti che rappresenta il sistema è

    (1...1...0...0)

    (1...1...2..-1)=A

    Applicando Gauss riduciamo la matrice a forma di scalini. Sottraendo la prima dalla seconda

    (1...1...0...0)

    (0...0...2..-1)=A

    2 pivot quindi il rango di A è 2. r(A)=2

    due variabili libere la y e la t. (sono le colonne dove non sono presenti i pivot)

    Calcoliamo la base di S assegnando alle variabili libere alternativamente in valori 1 e 0

     

    ⊳ per y=1 e t=0.

    Dalle equazioni discende x=-1 & z=-1/2

    un vettore della nostra base è v=(-1,1,-1/2,0)

    razionalizziamolo moltiplicandolo per 2

    v=(-2,2,-1,0)

    ⊳ per y=0 e t=1.

    Dalle equazioni discende x=0 & z=1/2

    un vettore della nostra base è v=(0,0,1/2,1)

    razionalizziamolo moltiplicandolo per 2

    w=(0,0,1,2)

    Possiamo concludere che v, w sono una base per S ovvero

    S=Span{(-2,2,-1,0) , (0,0,1,2) }

    2. 

    Sappiamo dalla teoria che 

    i) Se i 4 vettori sono linearmente indipendenti allora la dimensione dello spazio generato è 4

    ii) Se invece sono linearmente dipendenti elimino un vettore che dipende dagli altri 3 

    iii) Se i 3 vettori sono linearmente indipendenti allora la dimensione dello spazio generato è 3

    iv) Se invece ... mi comporto come in precedenza sino all'esaurimento delle possibilità.

    Per dimostrare l'indipendenza calcolo in determinante della matrice formata dai 4 vettori

    Il determinante della matrice A vale

    det A = 4k³(k-1)

    Se il determinante è diverso da 0 i 4 vettori sono linearmente indipendenti, quindi

    ► Per k≠0 e k≠1 dim V=4

    ► Per k=0 la matrice diventa

    (0...0...0...0)

    (1...2...0...1)

    (1...2...0...1)=A₀

    (-4..0...0...0)

    Eliminando le righe/colonne nulle e la terza riga essendo eguale alla seconda si ha

    (1...2...1)(-4..0...0)

    Che ha rango 2 quindi dim V₀ = 2

    ► Per k=1 la matrice diventa

    (1...2...0...1)

    (3...3...0...1)

    (1...3..-1...1)=A₁

    (-3..0...0...1)

    La terza riga non è altro che 3*1° - 2*2° quindi è linearmente dipendente. 

    Eliminandola si ottiene

    (1...2...0...1)

    (3...3...0...1)

    (1...3..-1...1)

    Matrice che ha rango 3 (Sarrus per le prime 3 colonne)

    Ragion per cui dim V₁ = 3

    In alternativa si poteva ridurre la matrice A con Gauss per poi discutere il numero dei pivot in funzione dei valori attribuiti al parametro k. Nonostante sia il metodo considerato "il migliore" in questo caso direi che è più macchinoso.

     

    • Cose4 sett faSegnala

      scusami non ho capito perchè la seconda riga della maatrice A sia (1 1 2  -1) e non (1 0 2 -1)

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