Laura ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 8 mesi fa

HEEEELP: ESERCIZI DI ANALISI 2!!!?

Ragazzi vi prego potete risolvermi questi esercizi di analisi 2?

1) f(x,y)= [x^2+(x^2+y)^2]/(x^2+y^2)

stabilire se esiste il limite di f per (x,y) che tende a (0,0) in R^2\{(0,0)}. Se si, determinarne il valore.

2) f(x,y,z)={ (xyz)/(x^4+y^4+z^4)  se (x,y,z) diverso da (0,0,0)

                    0 se (x,y,z)=(0,0,0)}

stabilire se è differenziabile  e se è C1

3) f(x,y,z)=xye^(x+z^2)

determinare punti critici di f e stabilire se sono massimi, minimi o selle

4) A={(x,y)cR: x^2 + (y^2)/3 <=1 e y<=x}

si consideri

 f(x,y)=xy

determinare f(A)

2 risposte

Classificazione
  • Dani
    Lv 7
    8 mesi fa

    1) In coordinate polari

    f(ρcosθ, ρsenθ) =

    (ρ²cos²θ + (ρ²cos²θ + ρsenθ)²)/ρ² =

    (ρ²cos²θ + ρ²(ρcos²θ + senθ)²)/ρ² =

    cos²θ + (ρcos²θ + senθ)² =

    1 + ρ²cos⁴θ + 2ρcos²θsenθ → 1 per ρ → 0

    perciò

    f(x, y) → 1 per (x, y) → (0, 0).

     

    2) Per motivi di grado f non è neppure continua nel punto (0, 0, 0).

    P.es. lungo la retta x = y = z, f(t, t, t) = 1/(3t) → ∞ per t → 0.

    3) f(x, y, z) = xye^(x)e^(z²)

    grad f(x, y, z)  = ((x+1)ye^(x+z²), xe^(x+z²), 2xyze^(x+z²)) = (0, 0, 0) <==>

    ((x+1)y, x, 2xyz) = (0, 0, 0) <==>

    x = 0 & y = 0

    I punti critici di f sono tutti e solo i punti dell’asse z, del tipo (0, 0, z).

    La funzione e^(z²) è monotona in {z < 0} e in {z > 0}, perciò ogni punto (0, 0, z) con z ≠ 0 è di sella.

    Anche il punto (0, 0, 0) è di sella poiché f(0, 0, 0) = 0 e ogni intorno di (0, 0, 0) contiene punti in cui f < 0 e punti in cui f > 0. (Questo si vede p.es. osservando che f(t, t, 0) = t²e^t, f(t, –t, 0) = –t²e^t)

    4) Poiché f è continua in R² e A è un insieme compatto e connesso di R² (una semiellisse piena), abbiamo f(A) = [min f(A), max f(A)].

    f è di classe C¹(R²) e l’unico punto critico di f è (0, 0) che non è interno ad A, perciò f assume minimo e massimo sul bordo di A.

    Sulla retta y = x, tra i  punti P(–√3/2, –√3/2) e Q(√3/2, √3/2)

    f(x, x) = x²

    ha minimo f(0, 0) = 0 e massimo f(P) = f(Q) = 3/4.

    Sulla semiellisse x² + y²/3 = 1, y ≤ x, tra i  punti P(–√3/2, –√3/2) e Q(√3/2, √3/2)

    f(cosθ, √3senθ) = √3cosθsenθ,  –5π/6 ≤ θ ≤ π/6

    ha minimo f(cos(–π/4), √3sen(–π/4)) = –√3/2 e massimo f(cos(–3π/4), √3sen(–3π/4)) = √3/2

    f(A) = [–√3/2, √3/2]

  • Anonimo
    8 mesi fa

    Oddio funzioni a due..a tre variabili!!!! Oddiooo, studia sul libro di matematica qua nn si possono scrivere neanche le formule

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