Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Problema punti critici funzione a due variabili?

Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione

f(x,y) = (y-e^x)(2y-e^(2x)-1).

Ho calcolato le derivate parziali, ma non riesco a risolvere il sistema per trovare i punti che le annullano entrambe.

1 risposta

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    1 mese fa
    Migliore risposta

    La funzione

    * f(x, y) = (y - e^x)*(2*y - e^(2*x) - 1)

    ha il gradiente

    * nabla[f(x, y)] = {(3*e^(2*x) - 2*y*e^x - 2*y + 1)*e^x, - e^(2*x)- 2*e^x + 4*y - 1}

    che s'annulla nelle soluzioni del sistema

    * (3*e^(2*x) - 2*y*e^x - 2*y + 1 = 0) & (- e^(2*x)- 2*e^x + 4*y - 1 = 0)

    ---------------

    Con

    * u = e^x > 0 ≡ x = ln(u)

    si riduce il problema alla ricerca dei punti comuni a un'iperbole e una parabola del piano Ouy col sistema

    * (3*u^2 - 2*(u + 1)*y + 1 = 0) & (y = (u + 1)^2/4)

    che ha la risolvente cubica

    * 3*u^2 - 2*(u + 1)*(u + 1)^2/4 + 1 = 0 ≡

    ≡ (u - 1)^3 = 0 ≡

    ≡ u = 1 ≡

    ≡ e^x = 1 ≡

    ≡ x = 0

    e

    * y = (1 + 1)^2/4 = 1

    • Ma vai in mona guarda. Non dire ste cose in pubblico o ti menano

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