Enrico ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 7 mesi fa

Problemi di ottimizzazione?

La somma di due numeri positivi x e y è 40. Trova quali numeri rendono il prodotto x^2 * y^3 massimo

3 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    7 mesi fa

    DATI:

    x + y = 40 (con: 0 < x < 40; 0 < y < 40).

    ==> Ne consegue che: y = 40 - x.

    Prodotto: 

    P = x^2 * y^3 <== Sostituiamo "40 - x" al posto di y.

    P(x) = x^2 * (40 - x)^3 <== Nota: P(x) = Prodotto in funzione di x.

    Derivata prima:

    P'(x) = 2x * (40 - x)^3 + x^2 * 3 * (40 - x)^2 * (-1) =

    = 2x * (40 - x)^3 - 3x^2 * (40 - x)^2 =

    = x * (40 - x)^2 * [2 * (40 - x) - 3x] = x * (40 - x)^2 * (80 - 2x - 3x) =

    = x * (40 - x)^2 * (80 - 5x).

    Punti stazionari:

    Bisogna porre: P'(x) = 0.

    ==> x * (40 - x)^2 * (80 - 5x) = 0.

    Per l'annullamento del prodotto deve essere:

    (*) x = 0 (non accettabile).

    (**) (40 - x)^2 = 0 ==> 40 - x = 0 ==> x = 40 (non accettabile).

    (***) 80 - 5x = 0 ==> 80 = 5x ==> x = 80/5 = 16.

    Segno della derivata prima:

    0 + + + + + + + + + + + + + + (Disequazione: x > 0)

    0 + + + + 16 - - - - - - - - - - - ..(Disequazione: 80 - 5x > 0)

    0 + + + + + + + + + + + + 40...(Disequazione: (40 - x)^2 > 0)

    Se 0 < x < 16, la funzione P(x) è crescente; se 16 < x < 40 la funzione P(x) è decrescente. Per x = 16 si deve quindi avere un punto di massimo. 

    SOLUZIONI:

    x = 16; y = 40 - 16 = 24.

    Valore massimo del prodotto: 

    P(x = 16) = 16^2 * (40 - 16)^3 = 16^2 * 24^3 = 256 * 13.824 = 3.538.944.  

  • exProf
    Lv 7
    7 mesi fa

    (x, y) = (16, 24)

    ==============================

    MOTIVAZIONE

    ------------------------------

    Con

    * 0 < x < s

    * p(x) = (x^2)*(s - x)^3

    * p'(x) = x*(2*s - 5*x)*(s - x)^2

    * p''(x) = 2*(s - x)*(s^2 - 8*s*x + 10*x^2)

    s'imposta la condizione di massimo relativo

    * (p'(x) = 0) & (p''(x) < 0) ≡

    ≡ (x*(2*s - 5*x)*(s - x)^2 = 0) & (2*(s - x)*(s^2 - 8*s*x + 10*x^2) < 0)

    si risolve

    * x*(2*s - 5*x)*(s - x)^2 = 0 ≡

    ≡ (x = 0) oppure (x = (2/5)*s) oppure (x = s)

    e si valutano

    * p''(0) = 2*s^3 > 0

    * p''((2/5)*s) = - (18/25)*s^3 < 0

    * p''(s) = 0

    ==============================

    NEL CASO IN ESAME

    * s = 40

    * x = (2/5)*40 = 16

    * y = 40 - x = 24

  • Anonimo
    7 mesi fa

    Poichè x + y = 40 =>   y = 40 - x

    e  0 <= x <= 40

    P = x^2 (40 - x)^3      deve essere massimo.

    Nota che P = 0 agli estremi dell'intervallo.

    P' = 2x (40 - x)^3 + x^2 * 3 (40 - x)^2  (-1)

    e la P è crescente quando

    (40 - x)^2 [ 2x(40 - x) - 3x^2 ] >= 0

    x(40 - x)^2 ( 80 - 2x - 3x ) >= 0

    80 - 5x >= 0

    x <= 16

    per cui si ha il massimo assoluto quando x = 16 e y = 40 - 16 = 24

    e il valore massimo è

    Pmax = 16^2 * 24^3 = 256*13824 = 3.538.944

    Nota --- è possibile considerare questo problema come un caso particolare del seguente :

    P = x^a * y^b = max     con  x >= 0, y >= 0,  a e b positivi,   x + y = S.

    Questo equivale a    P = x^a * (S - x)^b = max   con x >= 0 e   S - x >= 0

    oppure, passando ai logaritmi, a

    ln [ x^a * (S - x)^b ] = max      con 0 < x < S

    a ln x + b ln ( S - x ) = max   con 0 < x < S

    Derivando

    a/x - b/(S - x) >= 0

    diventa

    [ a(S - x) - bx ]/[ x(S - x ) ] >= 0

    il denominatore è sempre positivo per  0 < x < S

    ( gli estremi devono essere valutati sull'originale perchè il logaritmo non esiste

    per x = 0 o x = S )

    aS - ax - bx >= 0

    (a+b)x <= aS

    x <= aS/(a+b)

    Si raggiunge quindi il massimo assoluto quando

    x* = aS/(a+b),

    y* =  bS/(a+b)

    e Pmax = [ aS/(a+b) ]^a * [bS/(a+b)]^b = a^a * b^b * (S/(a+b))^(a+b).

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