Marco ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Teoremi Rolle e Lagrange?

Chiedo se qualcuno mi può spiegare il seguente problema. Dimostra che arctan(1+x)/(1-x) = π/4+ arctan x per ogni x <1. Grazie mille in anticipo non so come fare.

2 risposte

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  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    L'uguaglianza è definita per x≠1, quindi il vincolo  x < 1 è ben posto.

    Useremo un corollario del teorema di Lagrangia (era italiano, non francese). Il corollario che afferma che 

    per una funzione continua e derivabile in un intervallo e

    se la derivata è nulla in tutti i punti interni  dell'intervallo

    allora

    la funzione è costante in tutto l'intervallo.

    Consideriamo la funzione 

    φ(x) = arctan[(1+x)/(1-x)] - arctan(x)

    siamo nell'ipotesi del teorema, per cui

    φ'(x) = 1/(1+x²) -1/(1+x²) = 0

    Quindi la funzione φ(x) è costante in (a,-1) per ogni a reale minore di 1.

    Verifichiamo che la costante coincide con π/4

    φ(0) = arctan(1) - 0 = π/4

    La φ(x) è una funzione costante e la costante vale  π/4

    OK.

    L'eguaglianza è vera per ogni x < 1

    • Marco1 mese faSegnala

      Grazie mille . È tutto chiarissimo grazie ancora buona giornata

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  • ?
    Lv 5
    1 mese fa

    Prendiamo la tangente di entrambi i membri.

    A primo membro rimane (1+x)/(1-x).

    Per il secondo membro ricorda  la formula di addizione :

    tan (a+b) = (tan a + tan b ) / (1 - (tan a )(tan b))

    e naturalmente che tan(π/4) = 1

    e la uguaglianza è provata.

    • Marco1 mese faSegnala

      Grazie mille per la spiegazione molto precisa. Buona giornata

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